圖形， 數學的“靈魂伴侶”

高天意

數學，可不僅僅是符號、數字和方程式這些我們天生就不熟悉的東西，它還包括了各種各樣的圖形。圖形我們可就熟悉了，即使沒有學過數學，我們也可以從生活中認識到很多圖形——例如像三角豆腐一樣擁有三個尖角的三角形、像椅子坐墊一樣方方正正的正方形，像橡皮筋一樣環繞一圈的圓形。當數學問題能用圖形表示的時候，是非常有利于人們理解和記憶的，本文利用圖形對勾股定理及其延伸出來的幾個等式的解釋來說明這個問題。

勾股定理中的三個數能是連續的嗎？

勾股定理可能是我們學過的最早的數學定理之一，它的表現形式是：a2+b2=c2，意為直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。有人問，勾股定理里的a、b、c能是連續的三個整數嗎？這個問題不難解答，令b=a+1，c=a+2，代入原方程并化簡得a2-2a-3=0。這個方程有兩個解a=-1或3。-1不可取，所以這連續的三個數為3、4、5。我們知道能滿足勾股定理三個數的組合有無數種，而連續的組合就僅僅只有這一種，夠巧妙吧。我們以這個組合說明圖形解釋數學問題的巧妙之處。

因為正方形的面積等于其邊長的平方，我們可以把a2、b2、c2理解為三個邊長分別為a、b、c的正方形的面積。當a、b、c分別為3、4、5時，將這三個正方形在直角三角形上畫出來，如圖①所示。

圖中的每一個正方形都被分割成一個個邊長為1的正方形——邊長為3的正方形被分成了9個邊長為1的正方形，邊長為4的正方形則被分成了16個，而邊長為5的正方形被分成了25個。9+16=25，等號兩邊擁有的邊長為1的正方形個數是相等的。讓我們不禁猜想，是否可以將面積較小的兩個正方形通過某種方式組合，就能得到大的正方形？事實證明是可以的，而且組合的方式非常簡單。它只需將邊長為4的正方形拆成四個寬為1，長為4的長方形，并且將這4個長方形圍在邊長為3的正方形的四周，一個邊長為5的正方形就出現了，如圖②所示。這也就是相當于邊長為3的正方形圍了一圈邊長為1的正方形。

我們很輕易理解，一個邊長為整數的正方形外圍圍一圈邊長為1的正方形，得到的新的正方形的邊長就等于原來的正方形邊長加2。如果圍兩圈，那就是加4了。可以推出，圍上n圈邊長為1的正方形，邊長增大為原來的邊長加上2n。

如果再加一個數呢？

勾股定理是a2+b2=c2，如果兩邊都再多一個數，變成a2+b2+c2=d2+e2，這會是什么情況？如果從a到e是連續的整數，我們同樣令b=a+1、c=a+2……并且帶入方程，得到a的一個有效解a=10，所以等式就是102+112+122=132+142。這時右邊有兩個正方形，和上文不大一樣了。但是仔細觀察一下，我們會發現，邊長為10的正方形圍兩圈邊長為1的正方形就可以變成邊長為14的正方形，邊長為11的正方形圍一圈邊長為1的正方形可以就變成邊長為13的正方形。我們可以試著把邊長為12的正方形拆開，并圍到另外兩個正方形上試試。我們很容易就獲得成功，如圖③。

如果繼續加數呢？考慮a2+b2+c2+d2=e2+f2+g2，如果a～g是一串連續的整數，同樣利用上述方法，解得a的有效解為21，則等式為212+222+232+242=252+262+272。右邊有4個正方形，左邊有3個正方形，這4個正方形該如何重新組合呢？這個也不難，請看圖④。那如果再加數呢？等式左邊有5個正方形，右邊有4個正方形的情況為362+372+382+392+402=412+422+432+442。當然，繼續舉例、畫圖形下去已經沒有必要了，因為這種例子是無窮無盡的。我們已經得出了結論：假設有一串數量為（2n-1）個的連續整數位于一個等式中，等式左邊是前n個整數的平方和，右邊是后（n-1）整數的平方和。這串整數有且只有一個解，且左邊的n個正方形均可以通過某種組合組裝出右邊的（n-1）個正方形?？梢姡瑘D形對于我們理解數學問題有很大的益處，而且還能幫助我們發現數學規律。