類比思考 融會貫通

呂萬江

【摘 要】 在初中學習階段，對稱是一個很重要的數學概念，也是解決問題的思想方法。把對稱融入函數的問題，挖掘其對稱的特征，會有意想不到的解題效果。

【關鍵詞】 對稱;一次函數;二次函數;反比例函數

函數的學習是學生數學思維的一次飛躍，由原來常量的學習過渡到變量的學習，函數就是描述變化規律的一種數學模型。在初中學習階段接觸了三種函數：一次函數、二次函數、反比例函數。接下來，探究三種函數關于x軸、y軸、原點對稱的圖形的解析式。

在平面直角坐標系中，點（x，y）關于x軸對稱的點的坐標為（x，-y）;點（x，y）關于y軸對稱的點的坐標為（-x，y）;點（x，y）關于原點對稱的點的坐標為（-x，-y）。利用對稱點坐標的特征，就可以得出三種函數關于坐標軸對稱圖形的解析式。接下來結合實例對三種函數分別進行說明。

一、一次函數

例題1：已知直線y=2x-4，求此直線關于x軸、y軸、原點對稱的直線解析式。

方法一：欲求直線y=2x-4關于x軸對稱的直線解析式，學生通常的做法是依據數學的一個基本事實“兩點確定一條直線”，在直線y=2x-4上任取兩點的坐標，根據點（x，y）關于x軸對稱的點的坐標為（x，-y），得到這兩個點關于x軸對稱點的坐標，再利用待定系數法，求得直線y=2x-4關于x軸對稱的直線解析式。利用同樣的方法，可以求出直線y=2x-4關于y軸、原點對稱的直線解析式。此方法易懂，有利于學生接受，但是運算量較大，在運算的過程中容易出現錯誤。

方法二：利用對稱點的坐標規律，如果兩個點關于x軸對稱，那么這兩個點的橫坐標不變，縱坐標互為相反數。順著這個思考方向，如果兩條直線關于x軸對稱，那么這兩條直線上所有的對稱點的橫坐標都相等，縱坐標都是互為相反數。也可以這么理解：已知直線解析式與所求直線解析式中x的值是相同的，y的值是互為相反數的。所以可以不改變直線解析式y=2x-4中x的值，用-y代換解析中y的值，就可以得到直線y=2x-4關于x軸對稱的直線解析式。利用同樣的方法，不改變直線解析式y=2x-4中y的值，用-x代換解析中x的值，就可以得到直線y=2x-4關于y軸對稱的直線解析式;用-x代換解析中x的值，用-y代換解析中y的值，就可以得到直線y=2x-4關于原點對稱的直線解析式。

二、二次函數

例題2：已知拋物線y=x2-2x+2，求此拋物線關于x軸、y軸、原點對稱的拋物線的解析式。

方法一：在沒有任何鋪墊的情況下出示此題，學生會從頂點式入手解決問題。把一般式y=x2-2x+2化成頂點式y=（x-1）2+1，而拋物線y=x2-2x+2關于x軸對稱的拋物線形狀大小與原拋物線相同，但開口方向相反，可知所求拋物線的二次項系數為-1，頂點坐標與原頂點坐標關于x軸對稱，因此，拋物線y=x2-2x+2關于x軸對稱的拋物線的解析為y=-（x-1）2-1。此方法直觀形象，也有利于學生接受。再用同樣的方法，可求拋物線y=x2-2x+2關于y軸、原點對稱的拋物線的解析式。

方法二：仿照例題1的方法一，學生需要找到原拋物線上的三個點，再根據點（x，y）關于x軸對稱的點的坐標為（x，-y），得到這三個點關于x軸對稱點的坐標，再利用待定系數法，求出拋物線y=x2-2x+2關于x軸對稱的拋物線的解析式，此方法計算量大，增加出錯的機率。

方法三：仍然利用對稱點的坐標規律，如果兩條拋物線關于x軸對稱，那么這兩條拋物線上所有的對稱點的橫坐標都相等，縱坐標都是互為相反數，因此可以不改變拋物線解析式y=x2-2x+2中x的值，用-y代換解析中y的值，就可以得到拋物線y=x2-2x+2關于x軸對稱的拋物線的解析式。利用同樣的方法，就可以得到拋物線y=x2-2x+2關于y軸、原點對稱的拋物線解析式。此方法可以快速求得所要的解析式。

立足于學生已有的知識基礎與經驗，在探究一次函數關于坐標軸對稱圖形的解析式的過程中，不斷引導學生用類比的方法，通過點對稱輕松求出二次函數、反比例函數的對稱圖形的解析式，從中感悟共同之處，并體會其中所蘊含的思想方法。