發(fā)揮數(shù)學模型在解決數(shù)學問題中的作用

謝愛菊

摘?要：數(shù)學模型是解決同類問題的法寶，能從常規(guī)問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學模型，構造數(shù)學模型。K字型全等模型的應用及構造。十字架模型的構造及應用。

關鍵詞：數(shù)學模型;K字型全等（相似）型;正方形中“十字架模型”;矩形中“十字架模型”

隨著中考的臨近，很多同學在做著大量的模擬題，以提高適應中考題型的能力，爭取考一個優(yōu)異的成績，考上自己心儀的學校。這里我總結了兩類數(shù)學模型，期望對同學們的復習備考起到做一道會一類，讓同學們從題海里跳出來，真正提高數(shù)學成績的作用。

一、K字型全等。

條件：∠B=∠ACE=∠D=90°，AC=CE;

結論：△ABC≌△CDE

適用條件：等腰直角三角形，兩條線段垂直且相等（或一條線段旋轉90°），出現(xiàn)45°

例1、如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接DG，過點A作AH∥DG，交BG于點H.連接HF，AF，其中AF交EC于點M.

求證：△AHF為等腰直角三角形.

分析：要證△AHF為等腰直角三角形，只要證明△ABH≌△CGF，可以先證出四邊形AHGD為平行四邊形，證得AB=HG，BH=GF，再加上∠B=∠HGF=90°，可以證明△ABH≌△HGF。

例2、如圖，△OAP是等腰直角三角形，∠OAP=90°，點A在第四象限，點P坐標為（8，0），拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過原點O和A、P兩點.

（1）求拋物線的函數(shù)關系式.

（2）點B是y軸正半軸上一點，連接AB，過點B作AB的垂線交拋物線于C、D兩點，且BC=AB，求點B坐標;

分析：（1）先根據(jù)△OAP是等腰直角三角形，∠OAP=90°，點P坐標為（8，0），

得點A（4，﹣4），利用頂點式求得拋物線的表達式為：y=x2﹣2x;

（2）設點B（0，m），過點C作CH⊥y軸于點H，過點A作AQ⊥y軸于點Q，則有△CHB≌△BQA（AAS），

∴AQ=BH=4，CH=BQ=4+m，故點C（m+4，m+4），將點C的坐標代入拋物線的表達式拋物線的表達式并解得：m=8，m=﹣4（舍去）

故點B（0，8）。

例3、如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=2x-1的圖象分別交x，y軸于點A，B，將直線AB繞點B按順時針方向旋轉45°，交x軸于點C，求直線BC的函數(shù)達式。

分析：本題的題點為旋轉45°，把45°放在等腰直角三角形中構造K字型全等模型，可以過點A作AB的垂線交BC于點F，再由點F作FE垂直x軸于點E，則K字型全等模型構造成功。求出點F的坐標，即可求直線BC的函數(shù)表達式。

二、十字架模型

（一）正方形中“十字架模型”結論：

在正方形的對邊分別取點并相連，所得兩條線段

①垂直，則相等;②若相等，則垂直。

例4 如圖，將邊長為2cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，求線段MN的長。

分析：本題先連接DE，根據(jù)折疊對稱的性質，則有DE⊥MN，就會有DE=MN，求出DE的長即可。DE在直角三角形DEC中利用勾股定理可求。

（二）矩形中“十字架模型”結論

在矩形ABCD中對邊分別取點并相連，所得兩條線段EG⊥FH，

結論為：EG/HF=AD/AB

例5 如圖，矩形ABCD由兩個全等的正方形組成，點E，H，F(xiàn)，G分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點O，∠FOH=90°，EF=4，則GH 的長為多少？

分析：本題為矩形中十字架模型，因為∠FOH=90°，所以有GH/EF=AB/AD=2，GH=2EF=8

參考文獻：

[1]劉廣平，崔偉.數(shù)學模型建構在小學數(shù)學中的作用[J].華夏教師，2017（10）：26.

[2]陳瑩.數(shù)學建模與應用數(shù)學的結合探析[J].智能城市，2017，003（005）：130，132.