信息技術支持下小學數學合情推理思想的滲透與培養

屈玉國

（沈陽市皇姑區岐山路第一小學）

信息技術與數學課程的不斷融合，不僅影響了數學教育的價值、目標、內容，也逐漸改變了師生教與學的方式。當前，將信息技術融入于教學，正在由表象上的呈現展示逐漸深入到對小學數學思想方法的滲透和培養中。如何使信息技術融入滲透數學思想的教學之中，做到兩者的深度融合，是我們要著力探索的問題。推理思想是數學的三大思想之一，推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理分為合情推理和演繹推理兩種形式。其中，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果。合情推理的常用形式有歸納推理和類比推理。在教學中，可以發揮信息技術的作用，助推歸納推理的滲透，支持類比推理的培養，完善用信息技術滲透合情推理思想的教學過程。

一、用信息技術助推歸納推理的滲透

歸納推理，是從特殊到一般的推理方法，即依據一類事物中部分對象的相同性質推出該類事物都具有這種性質的一般性結論的推理方法。也就是“由個別的事物或現象推出該類事物或現象的普遍性規律的推理”。歸納推理在中小學數學中有著廣泛的應用，尤其是小學階段，一些公式、法則、性質、規律等往往是通過對一些事例的歸納而獲得的。小學數學歸納推理思想方法往往是在活動經驗的基礎上形成的，即通過觀察、比較、分析、綜合等，形成對思維對象的共性認識，最后獲得一般結論。信息技術以其直觀性、趣味性、互動性等特點，在小學生歸納推理的習得中提供了有力的支撐。

（一）運用信息技術呈現客觀事實，奠定歸納推理的基礎

數學知識是客觀存在的，數學教育應該使學生的學習建立在對客觀事實認識的基礎之上。徐利治教授指出：“一般說來，數學抽象共有4個步驟，即觀察實例、抓住共性、提出概念、構筑系統或框架（理論）。”信息技術恰恰能夠真實有效地呈現客觀事實，展示客觀事物的特點，使學生形成的歸納猜想更可靠，從而輔助學生深入地領悟歸納推理的數學思想方法。

在北師版《義務教育教科書·數學》二年級下冊“認識角”的教學中，讓二年級的學生形成“角的大小與邊的長短無關，而與開口大小有關”這一認知是比較困難的。我設計了4個環節，即在生活中尋找角、在操作中認識角、在探究中比較角、在練習中探究角的大小。針對角的大小與頂點位置無關、和開口方向無關、和邊的長短無關這一特點，我利用媒體，將角從實物中“提取”出來，接著將這些角或隨意挪動，或放大縮小，或把邊加長縮短，或重合比較，并演示對這些角的度量。

這些操作，再現了生活中角無處不在，也再現了角的開口方向、邊的長度和位置不影響角的大小，讓學生經歷對角的本質特征的認識過程。當學生了解到這么多的角，都具有這樣的特點之后，就會自然而然地歸納出“角的大小只與角兩條邊叉開的大小有關”這一結論。于是，在學生的頭腦中形成了對于角的深入理解，也形成了一種準確的數學表達。在學生進行歸納的過程中，信息技術為學生提供了眾多的、鮮明的、生動的實例，進而有效地促進學生觀察、操作、抽象、概括等能力的發展。

（二）運用信息技術表征數學事實，架設歸納推理的橋梁

數學思想具有抽象化、理性化、隱蔽化等特點，這給學生的認知帶來了困難。而信息技術具有直觀性、動態性和交互性的特點，兩者互為補充，從根本上確定了建立聯系的可能性。心理學家佩維奧提出了雙重編碼理論：在信息的貯存、加工和提取中，語言和非語言的信息加工過程是同樣重要的。大腦對于形象材料的記憶效果和記憶速度要好于語義記憶的效果和速度。雙重編碼理論給我們的啟示是，人不僅依靠語言系統學習，還依靠表象系統學習，大腦更擅長處理形象化的材料。所以，在教學中我們應兩套系統組合使用，因為學習的過程就是在情境與語義之間建立關聯的過程。

在教學北師版《義務教育教科書·數學》三年級下冊“植樹問題”時，我首先引導學生模仿在直線上的植樹活動，借助直觀圖像讓學生觀察計算出兩端都種的情況下一共需要多少棵樹苗，探究植樹棵樹與間隔數之間的關系，借助課件播放，箭頭和線段不斷呈現、閃動，如圖1所示。

圖1

學生通過觀察、實踐、討論，得出“植樹棵數=間隔數+1”的規律。這種方式也同樣適用于只種一端和兩端都不種的情況。線段或箭頭這樣的圖式化符號的閃動呈現，有利于減輕學生大腦的認知負荷，當圖示化符號呈現后，知識以及知識之間的關系就被顯示在圖像之中了。此時，“處理信息之間關系”這個操作對大腦工作記憶的占用大幅減少，負荷大幅減輕，思維效率大幅提高。事實上，推理思想的形成正是形成大腦圖式的過程，像這樣的線段圖、表狀圖和關系圖等，可以揭示知識之間的關系、并促使學生將零散的信息“打包”為組塊，因而可以有效地促進大腦的思維活動，進而促進推理思想的形成。

二、用信息技術支持類比推理的培養

類比推理，是從特殊到特殊的推理方法，即依據兩類事物的相似性，用一類事物的性質去推測另一類事物也具有該性質的推理方法，也叫類比法。依據該方法得到的結論可能為真也可能為假，需要進一步證明結論的可靠性，如根據整數的運算律，小數、分數可以與整數進行類比，得出小數、分數具有同樣的運算性質。類比推理活動的過程大致可以分為三個部分：首先是觀察，找到類比對象；其次是找到相似處，進行類比，形成猜想；最后是檢驗猜想。

（一）運用信息技術創設情境，激活經驗進行類比

建構主義學習觀認為：“學習是學生自己建構知識的過程。學生不是簡單被動地接受信息，而是主動地建構知識的意義。學習是學習者根據自己的經驗背景，對外部信息進行主動地選擇、加工和處理。”根據建構主義的學習觀，需要教師在教學時創設一定的問題情境，激活學生已有的知識經驗和生活經驗，為進行類比推理創設條件。

在教學北師版《義務教育教科書·數學》五年級下冊“分數的基本性質”一課時，我運用信息技術手段再現“商不變規律”和規律的獲得過程：在除法里，當被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數（零除外），商不變。由于分數與除法的密切聯系，分數的分子相當于除法里的被除數，分母相當于除數，繼而類比推理出：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（零除外），分數的大小不變。在教學六年級“比的基本性質”時，同樣可以由分數與比的關系和分數的基本性質類比出比的基本性質。不過，類比推理出的結論是否正確，是需要進行驗證的。無論是學習新知識，還是運用已有知識經驗解決問題，如果能把新知識和新問題與已有類似的知識進行類比，進而找到解決問題的方法，這樣就實現了知識和方法的正遷移。我們要引導學生在學習數學的過程中善于運用類比推理，以不斷提高學生問題解決能力。

（二）運用信息技術分析比較，驗證猜想生成新知

當學生找到研究問題的類比對象后，可以讓他們先回憶一下這一類比對象所具有的特征、性質，進而找到兩者所具有的相同或相似的屬性。應引導學生盡量從本質屬性上去尋找，再進行類比，推出研究對象和類比對象在其他方面也可能具有的相似屬性，進而獲得新的猜想。但猜想是否正確，需要通過實驗以及運用信息技術進行分析比較并加以驗證。仍以“分數的基本性質”一課為例，學生類比推理出的這個性質是否正確呢？可以運用媒體呈現課件，進行驗證。如圖2所示，借助課件演示，能形象直觀地看到類比推理出的這個性質是正確的。

圖2

一位教師在教學“體積單位”一課時，還出示了一個“金魚缸”的課件。如圖3所示，讓學生猜測它的大小，并引導學生思考：度量長度用厘米、分米、米等做單位，度量面積用平方厘米、平方分米、平方米等做單位，那么請你大膽地猜想一下，度量體積的單位會有哪些呢？

圖3

學生猜想體積單位應該是立方厘米、立方分米、立方米。教師繼續追問：“1立方厘米、1立方分米和1立方米分別有多大呢？”學生回答：“由邊長1厘米的正方形的面積是1平方厘米，猜想棱長1厘米的正方體的體積是1立方厘米；由邊長1分米的正方形的面積是1平方分米，覺得棱長1分米的正方體的體積是1立方分米；由邊長1米的正方形的面積是1平方米，認為棱長1米的正方體的體積是1立方米。”在猜想的基礎上，師生通過測量、實驗、運用媒體展示等多種方式，驗證了學生的猜想并分別建立與掌握了1立方厘米、1立方分米和1立方米的概念。這位教師從長度單位、面積單位、遷移類比出體積單位，這樣就使學生在檢索、選擇和提取已有知識經驗的過程中，找到類比的對象，進而獲得猜想，并通過驗證猜想建立了體積單位的相應概念。

三、運用信息技術培養合情推理應注意的問題

在利用信息技術滲透與培養合情推理思想的教學過程中，我們不能過多地追求和利用信息技術的功能，而忽視信息技術是否與教學內容相契合以及傳統教學媒體的價值等關鍵問題。要通過處理好信息技術與教學內容的關系以及處理好信息技術與傳統媒體的關系來完善教學過程。

（一）處理好信息技術與教學內容的關系

教師在教學有關滲透合情推理思想的內容時，要在讀懂教材的基礎上，圍繞教學的重點和難點設計制作多媒體課件，還應思考選取怎樣的素材，如何滲透數學思想才能更好地達成教學目標。

一位教師在教學北師版《義務教育教科書·數學》三年級下冊“軸對稱圖形”一課時，用多媒體課件分別展示了剪紙的蝴蝶、小樹、花朵，飾物的花瓶、臉譜、掛扇，建筑的北京天安門城樓、故宮博物院、美國白宮等。乍一看，覺得教師選取的視頻素材，從校內到校外、由國內到國際，圖形絢麗多彩、美不勝收，學生被深深吸引；細思量，軸對稱圖形是二維圖形，而教師提供的飾物和建筑實物是三維圖形，這就造成了軸對稱圖形與中心對稱圖形概念的混淆，不僅不利于通過觀看視頻，抽象概括軸對稱圖形的概念，滲透歸納推理思想，還影響了學生的正確認知。

此外，教師還應在科學解讀教材、讀懂學生的基礎上，適量地使用多媒體課件。一位教師在教學“十幾減9”一課時，用了30多個多媒體課件，一會是花園里的花朵情境、一會是動物園里的動物情境、一會是小朋友游園情境……令人目不暇接。且不說讓學生歸納如何計算十幾減9的方法，滲透歸納推理思想，僅計算這些情境中的題目就已讓一年級的學生應不暇接，教學效果可想而知。因此，教師不僅要根據教學內容來決定信息技術如何使用，還應適時、適度地使用，以便更好地實現教學目標，切實提升教學質量。

（二）處理好信息技術與傳統媒體的關系

運用現代信息技術并不意味著摒棄傳統，一些傳統教學媒體的作用是現代媒體無法替代的。在利用信息技術促進合情推理思想滲透與培養的過程中同樣如此，切不可忽視學生利用學具進行實際操作、教師板書等傳統教學媒體的價值。

在教學北師版《義務教育教科書·數學》一年級下冊“兩位數加一位數（進位）”一課時，計算28+4的方法是多樣的。學生可以借助珠子、原片等學具，用數數的方法，在28的基礎上再數4個數，得到計算結果。也可以用口算的方法，先運用已有經驗計算8+4=12，再算20+12=32，得到正確結果。但有一種方法能有效溝通口算與用豎式計算的聯系，并且能直觀理解算理，促進歸納推理思想的滲透，這個方法就是運用傳統教學媒體——計數器進行計算。學生首先在計數器的十位上撥2個珠子表示2個十，在個位上撥8個珠子表示8個一，即撥出28；然后，需要在個位上再撥4個珠子，因為4表示的是4個一，所以只能在個位上再撥4個珠子，這正是相同數位對齊從個位加起的算理所在。然而個位上只有10個珠子，而沒有12個珠子，只能用個位上的10個珠子去換十位上的1個珠子，也就是個位相加滿是十向十位進一的算理所在。

學生在用計數器計算的實際操作過程中，有了真實的體驗，在明確算理的同時也為列豎式計算奠定了基礎。之后，再讓學生運用計數器分別計算28+8、28+9，為歸納兩位數加一位數的計算方法打好基礎。如果把學生利用計數器計算換成用多媒體展示，學生觀看媒體中的操作過程，就缺少了真實體驗的過程，也就缺失了由口算方法遷移類推到筆算方法的過程，缺失了概括算法的過程，實質上缺失的是合情推理的滲透與培養。所以，在小學數學課堂教學中應根據實際需要，合理選擇教學媒體。

還有一種教學現象應引起教師的注意，那就是在教學時用多媒體展示來替代教師的板書。在滲透與培養合情推理思想的過程中，板書的作用尤為重要。板書既要提煉出學生經過觀察、想象或類比等得到的猜想，又要反映出驗證猜想的過程，還要書寫出經抽象概括獲得的結論。

簡而言之，板書要體現出比較完整的合情推理過程和結果。如在教學“平行四邊形的面積”一課時，在學生觀察多媒體展示的長方形面積與長和寬有關，正方形的面積與邊長和邊長有關，而且兩者是相乘的關系之后，可以讓學生去猜測四邊形家族中的平行四邊形的面積會與什么有關、有什么關系。在通過多媒體展示驗證猜想獲得結論之后，教師要適時板書：平行四邊形的面積與底和高有關。在學生經過實驗操作互動研討獲得平行四邊形的面積公式之后，教師要書寫歸納概括出的結論和主要過程，形成如圖4所示的板書設計。這樣的板書既能幫助學生理清合情推理的過程，又體現出了合情推理的結果。如果這個板書用多媒體替代一閃而過，教學效果將大打折扣。

圖4