初中數學教學中數形結合思想的應用類型

王 欣

（興城市濱海經濟區學校）

數形結合思想是最古老也是最基本的數學思想方法，數與形可以互相轉化，他們之間有深入的聯系。數形結合的應用可以分為兩種情形，一是將數作為工具求解圖形問題，二是將圖形作為工具求解代數問題。

應用數形結合的思想可以將抽象的數學問題轉化為具體、表象化的圖形問題，變抽象為形象，使得問題生動直觀。通過轉化，許多問題就能比較容易地求解出來。數形結合的應用十分廣泛，比如解方程和解不等式，求函數的性質問題等。在初中階段應用數形結合思想，大致可以分為四個類型。

一、利用數軸和坐標系解幾何題

數軸與全體實數有著一一對應的關系，在數軸上可以知道兩個實數的大小關系，絕對值的含義等，因此是很重要的解題工具。坐標系可以將幾何圖形代數化，坐標對與實數對是一一對應關系，可以計算平面里兩個點之間的距離。在教學這兩個知識點時，可以結合例題，讓學生體會數軸和坐標系的實用性，從而加深學生對數形結合方法的印象，使他們產生主動學習的欲望。

在課堂上，可以巧用數學情境，讓學生在求解過程中慢慢學會數形結合的方法。如在教學人教版《義務教育教科書·數學》九年級上冊“點和直線”這一知識點時，有如下教學片段。

師：同學們，我們在前面已經學習了點與點之間的距離公式，誰知道點與點之間的距離是怎么求的？

生：他說的是平面上的點，直線上的點用數軸來求就行。

師：在求解的時候我們需要知道點的坐標，或者點在數軸上的某個位置，然后再根據點的坐標進行求解。點用坐標表示，用的就是數學中的數形結合思想，今天我們來學習點到直線的距離公式。

師：同學們想一下，點到直線的距離應該怎么定義的呢？

生：是指點到直線的垂線段。

師：按照定義，我們將直線過該點的垂線表示出來。根據垂直直線的斜率公式，我們知道垂線與直線的斜率關系是k1·k2=-1，那么已知斜率和一點，可以求直線的解析式嗎？請小組內探究一下，可以設點為（x0，y0）。

（學生探究，教師檢查學生關于直線解析式的理解情況）

師：已知兩條直線，我們就可以求得兩條直線的交點，以這個交點為垂足，垂足到相應點的距離是點到直線的距離嗎？（學生表示贊同）

數軸和坐標系是初中學生在應用數形結合的方法時所接觸到的第一個類型。在從數到形的轉化過程中，這一個類型的掌握對后續的數形結合知識起著基礎性的作用。教學中，我們不僅要讓學生理解用公式進行求解的方法，更重要的是，要讓他們在頭腦中形成數軸這個一維向量和坐標系這個二維向量之間的整體框架，要讓他們對數軸和坐標系有鮮活的、動態的理解。

二、利用勾股定理證明直角

勾股定理的證明方法和用勾股定理證明直角也體現了數形結合的思想，學生在已知直角邊和斜邊長度的時候使用勾股定理，只需要進行簡單的代數計算就可以證明幾何關系，常在幾何證明題中使用。

在教學人教版《義務教育教科書·數學》九年級下冊“直角三角形與勾股定理”這一課時，有如下教學片段。

師：什么是勾股定理？

生：勾股定理的公式是a2+b2=c2。

師：大家預習得很到位，那么大家知道這么一個簡單的公式是怎么推導出來的嗎？可以小組討論一下，也可以利用幾何圖形來輔助證明。

生：我想到可以利用面積證明，用圖1的圖形可以證明。

圖1

師：根據圖1中的面積關系，我們可以證明勾股定理。類似這樣的證明還有很多，比如圖2、圖3，他們都是利用面積的等量關系來進行證明。

圖2

圖3

師：如果已知三角形的三個邊長，怎么判斷三角形的角是直角呢？

生：使用勾股定理。

師：使用勾股定理判定直角的方法就是數形結合的方法。

師：是的，這樣我們就發現兩個公式其實是統一的。

勾股定理的使用，使得一組具有特殊關系的數字與直角三角形這一圖形緊密結合了起來，也使學生在頭腦中建立起了“數和形一一對應”的表象，拓展了學生的空間觀念，使學生的數學思維走向了深入。

三、利用幾何圖形記憶代數公式

幾何圖形具有直觀形象的優點，學生對圖形更容易記憶。因此，幾何圖形還可以用來幫助學生記憶代數公式。在課堂教學中，教師可以多畫圖，讓學生對公式的含義充分理解。在解題過程中，也可以多畫圖。這樣，在潛移默化中，學生記憶和解題時就掌握了數形結合的思想。比如平方差公式、完全平方公式就可以用幾何圖形來輔助記憶。

在教學人教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊“平方差公式”時，有如下教學片段。

師：我們來看一個簡單的等式13+23=32，口算一下，這個結果是正確的嗎？請大家用幾何圖形把這個等式表示出來。

生：我畫出了這樣的圖來表示。（如圖4）

圖4

生：在圖4中，我們可以看到A是13，B、C、D合起來就是兩個2×2的正方形，就證明了等式。

師 ：13+23+33=62，13+23+33+……+n3=還有其他的表示方法嗎？

生：我們可以畫出有3項的圖。（如圖5）

圖5

對于n項的情況，學生也可以繼續畫下去。這樣，這個等式的證明也就完成了。在這個證明過程中，就用到了數形結合的思想。此外，在平時的解題過程中，也要注意引導學生學會使用數形結合的方法。

四、利用函數圖象把握函數性質

函數的知識是教學重難點，因為這一部分內容比較抽象，在理解函數的性質時，可以引導學生借助函數圖象。建立起圖象與性質的對應鏈接。了解函數的性質首先就要建立起直角坐標系，在直角坐標系中，平移點之后，要用圖象表示平移的過程并觀察平移后點的特征。在利用函數圖象記憶函數性質的時候，還要畫出函數的定義域、增減性、單調性等。

在教學人教版《義務教育教科書·數學》九年級上冊“函數的圖象與性質”一課時，有如下教學片段。

師：我們知道函數的因變量與自變量是一一對應的，那么就可以利用定義在坐標系中畫出函數的圖象。比如正比例函數，請大家畫一畫。

師：同學們是根據什么畫出的圖象呢？

生：我是根據正比例函數是一條過原點的直線畫出來的。

師：這位同學掌握了正比例函數的圖象性質，從正比例函數的圖象中，我們可以知道它的斜率和經過的點是原點，還可以知道什么呢？

生：還有它的朝向。

生：還有它所有的值都是可以取的。

師：總結一下兩位同學的發言，除了函數的增減性和還有什么？

生：還有正比例函數是單調的。

師：從一個圖象中可以看到函數的基本性質，那么在記憶的過程中，我們只需要畫出一個函數的圖象，就可以知道它的所有性質了，是不是很方便、很實用呢？這種方法就是數形結合的方法，老師現在畫出一個圖象，請你們來告訴我它的性質好嗎？（如圖5）

圖5

生：可以看出它先增后減。

生：最高點是（1，4），對稱點是（1，4）。

師：真棒，你們已經了解了函數的圖象特征，而這個圖象和我們要學習的一元二次方程是對應的，就是圖中的方程式。在一元二次方程中，我們經常運用到數形結合的思想方法。

在數學課堂中使用直角坐標系來求解不等式、一元二次方程是很方便的。教學中，我們要利用圖形來加深學生對抽象的概念和公式的理解，在圖形和公式結合的過程中，引導學生使用數形結合的方法，鍛煉數學思維能力。在使用數形結合輔助教學時，教師還需要注意分類總結，要讓學生舉一反三，掌握一個題目就可以掌握一個類型的題目。