內曲線轉子驅動徑向柱塞數字泵柱塞組件運動學及動力學特性分析

曾億山，張 強，胡 敏,2，范一杰，耿豪杰

(1.合肥工業大學機械工程學院，安徽合肥 230009；2.浙江大學流體動力與機電系統國家重點實驗室，浙江杭州 310027)

引言

風能是一種清潔且無公害的可再生能源，是世界各國高度重視并發展的戰略性產業之一，在能源、環境保護等方面具有重要的作用[1]。目前，對風能利用的主要形式是通過安裝風力發電機組，將風能轉化為電能[2]，未來的風力發電機組中變速運行將取代恒速運行[3]。近年來，由于液壓傳動型風力發電機組的優勢顯著，液壓技術在風力發電中的應用開始引起廣泛研究[4]。在液壓變速恒頻風力發電機組中，液壓泵作為能量收集與轉換元件，起著重要作用。由于風的波動性與間歇性，風力機轉速大小極不穩定，傳統液壓泵難以在隨機低轉速工況下連續長時間地可靠運行，并且流量輸出也不恒定。因此，需要設計合適的數字液壓泵來滿足風力發電所特有的隨機發生和低速大排量工況的需求，以保證可靠高效地吸收風能并將其轉換為穩定的流量輸出。多位學者已對數字泵進行了大量的研究。齊禮東等[5]研究了一種徑向柱塞數字泵能夠借助于高速電磁開關閥組的PWM控制或柱塞行程的有效控制來實現隨機低轉速驅動下的恒流量輸出；張斌等[6]研制了一種多排數字軸向柱塞泵，通過調節對各個柱塞對應的進口開關閥和出口開關閥的工作順序，來實現對流量控制；李林等[7]提出采用液控單向閥控制柱塞單元有效輸出/輸入實現軸向柱塞泵/馬達配流及變量的配流機構。但是已有的數字泵都是偏心輪式結構，較難實現低速大排量?？紤]到現有的內曲線馬達具有良好的低速穩定性，易于達到低速大排量，因此提出設計一種內曲線轉子驅動徑向柱塞數字泵來滿足風力發電的需求，與內曲線馬達不同，內曲線轉子驅動徑向柱塞數字泵需要重點解決柱塞吸油時的低壓回程問題，本研究重點在于轉子內曲線和回程曲線的設計，以及對泵柱塞組件的運動學和動力學進行分析。

1 內曲線轉子驅動徑向柱塞數字泵的工作原理

圖1是多作用內曲線徑向柱塞泵的工作原理圖。該液壓泵采用的是轉子導軌的結構形式，內曲線轉子與主軸通過花鍵連接，在主軸轉動時，隨主軸一起轉動。從圖1可以看出，柱塞的滾柱夾在轉子內曲線和回程曲線之間，在轉子的外側回程曲線的幫助下，柱塞很容易進行回程運動，從而解決了傳統液壓泵自吸能力不強的缺點。在主軸轉動過程中，當柱塞位于吸油區時，柱塞在外側的回程機構以及低壓油的壓力作用下，運動到離轉子中心最近的位置，此時柱塞腔容積最大，完成一次吸油動作。接著隨著主軸運動，帶動內曲線轉子進行轉動，在轉子曲線的作用下，柱塞開始向外運動，柱塞腔容積逐漸減小，并最終到達離轉子中心最遠處的位置，此時柱塞腔內的高壓油液完全排出，從而完成一次排油動作。由于柱塞組件與轉子導軌之間采用了滾柱接觸，而且滾柱一方面在內曲線導軌上運動，另一方面又與柱塞形成了轉動副，采用滾柱接觸大大減小了摩擦力，提升了柱塞泵的性能和壽命。

圖1 多作用內曲線徑向柱塞數字泵工作原理圖

柱塞在單個吸排油區間內就可以完成1次完整的吸排油動作。而當轉子含有x個這樣的吸排油區時，內曲線轉子每旋轉1周，單個柱塞就可以完成x次吸排油的動作。如果再在泵軸向布置z個相同的轉子柱塞組件結構，泵的排量將會呈z倍增加，這樣不僅可以實現液壓泵的低速大排量化，也可根據需要對徑向柱塞泵排量加以控制。因此液壓泵的排量可以用以下公式表示：

(1)

式中,d—— 柱塞直徑

h—— 柱塞行程，即柱塞進行一次吸排油的運動位移

x—— 作用次數，即內曲線轉子的凸起個數

y—— 柱塞個數

z—— 轉子個數

從式(1)中可以看出，柱塞泵的排量與柱塞直徑，柱塞行程，作用次數，柱塞個數，以及轉子的個數這5個變量是成正比的。增大上式中5個變量的1個或幾個變量即可增大泵的排量。

2 柱塞組件運動學和動力學分析

2.1 作用曲線設計與柱塞組件運動學分析

在已有的大部分內曲線馬達中，定子曲線采用的是等加速運動曲線，簡稱等加速曲線[8]。等加速曲線具有較好的性能，可通過合理分配吸油區和排油區的幅角，得到性能良好的內曲線轉子驅動徑向柱塞泵。為了防止由于加速度的突變導致滾柱與導軌之間的接觸應力值的突變，從而給導軌帶來損壞，因此等加速曲線常常會設有零速區。徑向柱塞泵的吸油區和排油區曲線中，都設有零速區、加速區、等速區和減速區[9]。

如圖2所示，等加速曲線是由零速區、加速區、等速區、減速區組成的，若AB段是吸油區，BC段是排油區，則吸油區的幅角(ψm)，ψm0，ψm1，ψm2，ψm3分別是吸油零速區、加速區、等速區、減速區。排油區的幅角為(ψn)，ψn0，ψn1，ψn2，ψn3分別是排油零速區、加速區、等速區、減速區，吸油區和排油區的總幅角為ψz。將前人對徑向柱塞泵定子曲線的幅角分配的研究結果[9]應用到轉子內曲線上，則吸排油區域各個角度占比具體分配如表1所示。

圖2 等加速曲線幅角分配圖

表1 吸/排油區域各個角度占比

內曲線轉子徑向柱塞泵的單個柱塞的運動規律可以等效為凸輪滾柱機構的運動來分析。如圖3所示，弧AC段是內曲線轉子導軌上的單個作用曲線，當內曲線轉子順時針旋轉時，柱塞滾柱進入弧BA段運動時，柱塞組件在轉子導軌的作用下向著缸體中心作回程運動，此時柱塞腔容積增大，液壓油經過吸油窗口進入到柱塞腔內，完成吸油過程；柱塞滾柱在弧CB段運動時，柱塞組件背離缸體作徑向運動，此時柱塞腔容積減小，迫使油液排出柱塞腔，完成排油過程。柱塞組件的運動取決于轉子內曲線的形式，為了簡化分析，可以用柱塞滾柱來代替柱塞組件的運動。如圖4所示，A1B1C1是內曲線轉子的一個作用曲線，A2B2C2是滾柱中心的運動軌跡。在一開始零速區為起始位置，滾柱中心距主軸中心的距離OA2是ρ0,在轉子轉動的過程中，滾柱中心距主軸中心的距離OO1是ρθ,當轉子在dt時間內轉動dθ的角度時，滾柱相對于轉子從O1點運動到O2點，此時滾柱的徑向位移為dρ,因此可算出滾柱的徑向線速度vρ。

圖3 單作用曲線柱塞運動示意圖

圖4 柱塞滾柱運動簡圖

(2)

(3)

式中,vθ稱為度速度[10]，即滾柱在單位轉動角度上的徑向位移；ω為轉子在泵軸帶動下的角速度。

繼續對徑向線速度vρ進行角度的一階微分，可得滾柱的度加速度aρ。

(4)

(5)

其中,aθ稱為度加速度[10]。

在得出度速度和度加速度公式的前提下，對度加速度和度速度進行積分即可得出柱塞組件的運動規律。柱塞組件的度速度為:

(6)

柱塞滾柱在某個角度距離轉子中心的距離為:

(7)

通過上述公式可以得到滾柱中心運動理論推導公式，接下來需要對轉子內曲線和回程曲線進行理論推導。使用微元的思想[9]，轉子曲線是一個不規則的圖形，柱塞滾柱和轉子的位置關系是相切，由相切的幾何特性，過曲線上該點做該點的法線方向的一條直線，滾柱最內側的點，是滾柱與轉子內曲線的接觸點，而滾柱的最外圍的點，則在接觸點與圓心相連的直徑之上，也是轉子回程曲線上的點。由數學公式，在極坐標系下，曲線的極半徑ρ(θ)與其導數ρ′(θ)之比等于極半徑與曲線切線之夾角的正切，數學表達式如式(8)。由圖5可知，α=ψ+θ，則曲線切線在M點的法線方向為過M點的水平線順時針旋轉了90°-ψ-θ，這樣可以根據滾柱的直徑確定內曲線和回程機構曲線上點的位置。

圖5 回程曲線推導圖

(8)

考慮到滾柱與導軌每點都需要保證相切，從而需要計算出滾柱中心運動曲線每點相對應的法線方向，并且需要計算出最小的曲率半徑值。曲率半徑公式如下:

(9)

在利用已知的設計條件得到最小的曲率半徑之后，滾柱的半徑應小于等于滾柱中心運動曲線曲率半徑值最小值，確定滾柱直徑D之后，在MATLAB軟件中進行繪制內曲線和回程曲線程序的編寫，而內曲線的設計是基于極坐標系的，因此可以利用極坐標系與笛卡爾坐標系的轉換公式得到：

x=ρ(θ)cos(θ)

(10)

y=ρ(θ)sin(θ)

(11)

接下來需要計算每個對應的內曲線和回程曲線上的點，可用以下公式得到:

xin=ρ(θ)cos(θ)?0.5D×cos(90°-φ-θ)

(12)

yin=ρ(θ)cos(θ)±0.5D×cos(90°-φ-θ)

(13)

xout=ρ(θ)cos(θ)±0.5D×cos(90°-φ-θ)

(14)

yout=ρ(θ)cos(θ)?0.5D×cos(90°-φ-θ)

(15)

式中，D—— 柱塞滾柱的直徑

x—— 滾柱中心運動曲線的橫坐標

y—— 滾柱中心運動曲線的縱坐標

xin—— 內曲線的橫坐標

yin—— 內曲線的縱坐標

xout—— 回程曲線的橫坐標

yout—— 回程曲線的縱坐標

按照這種方法，進行程序編制，考慮到后續需要對泵的排量進行控制，結合選用電磁閥的響應時間，將轉子作用曲線設為8個。因此把整個轉子曲線，看作是一個作用曲線繞原點，旋轉復制8次得到。編程的主要參數如表2所示。

表2 編程參數

編完程序后運行可得到圖6，點劃線是轉子內曲線，虛線是回程曲線，實線是柱塞滾柱中心的運動軌跡。

圖6 MATLAB程序運行圖

2.2 柱塞組件的動力學分析

如圖7所示，內曲線轉子驅動徑向柱塞數字泵在運行時，柱塞和滾柱上的作用力有：柱塞底部的液壓力Fp，柱塞滾柱組件運動時徑向加速度產生的慣性力Fr，滾柱轉動時受滾動摩擦力矩經過簡化成滾柱中心的力F，柱塞與殼體柱塞孔之間的正壓力N，柱塞在柱塞孔壁的摩擦力Ff，內曲線轉子對滾柱的作用力Fn。

圖7 柱塞滾柱受力分析簡圖

1) 柱塞底部的液壓力p0

柱塞做徑向往復運動，吸油時，在低壓油液壓力和轉子回程機構的作用下做回程運動；排油時，柱塞底部受到高壓油的液壓力。液壓力p0為：

(16)

式中，p為柱塞腔油液壓力。

2) 柱塞滾柱組件的慣性力Fr

Fr=(m滾柱+m柱塞)ar

(17)

式中，m滾柱—— 滾柱質量

m柱塞—— 柱塞質量

ar—— 柱塞滾柱徑向加速度

3) 滾柱轉動時受滾動摩擦力矩[11]經過簡化成滾柱中心的力F

(18)

式中，μ—— 滾動摩擦系數

R—— 滾柱半徑

4) 柱塞與殼體柱塞孔之間的正壓力N

轉子轉動時，轉子對滾柱作用力的分力作用在柱塞上，最終柱塞和柱塞孔壁之間產生相互作用力。

5) 柱塞在柱塞孔壁的摩擦力Ff

Ff=f·N

(19)

式中，f為摩擦系數。

6) 內曲線轉子對滾柱的作用力Fn

柱塞滾柱組件徑向方向的力平衡方程為：

Fncosα+Fr+Ff-Fp=0

(20)

即：

(21)

其中，

(22)

由此可算得：

(23)

式中,α為壓力角，壓力角計算推導如圖8所示。

圖8 壓力角計算推導圖

壓力角可通過以下方法來計算：過O1作OO2的垂線O1P,則O2P為滾柱徑向位移dρ,O1P約為ρdθ,因此壓力角[7]的正切值為：

(24)

3 柱塞滾柱組件的運動學與動力學仿真分析

3.1 徑向柱塞泵虛擬樣機建模

表3 徑向柱塞泵主要零部件材料屬性設置 g·cm-3

在對各個零部件賦予材料屬性之后，就是對主要零部件創建約束關系，根據機械原理相關知識和徑向柱塞泵的實際運動情況，添加的約束關系為：主軸-大地：旋轉副；轉子-主軸：固定副；回程導軌-轉子：固定副；柱塞-滾柱：旋轉副；柱塞-大地：平移副。

在對零部件之間添加約束后，滾柱與轉子之間存在點線約束，對兩者添加點線約束后，滾柱將按照設計的作用曲線運動。但是要想模擬滾柱運動的實際情況，需要在轉子與滾柱之間添加contact接觸副，使得滾柱與轉子之間產生碰撞力。根據滾柱和轉子的材料進行contact參數設置：材料的剛度設為100000 N/mm，金屬材料的力指數一般取1.3～1.5,這里取1.5；阻尼一般取剛度的0.1%～1%，取值100 N·s/mm，穿透深度指的是材料之間的最多嵌入深度，一般取值0.1 mm。

內曲線轉子驅動徑向柱塞數字泵運動期間，進行吸排油動作時候，柱塞底部會受到液壓油壓力的作用。柱塞吸油時壓力較低，排油時壓力較高。因此，按照吸油壓力1 MPa和排油壓力20 MPa在ADAMS中可通過函數表達式來定義柱塞受到的液壓力大小。根據徑向柱塞泵在工作時受到的液壓油壓力，使用樣條曲線函數AKISPL添加的液壓力曲線如圖9所示(以泵軸轉速為30 r/min為例)。

圖9 液壓力樣條曲線圖

ADAMS中的動力學模型如圖10所示。

圖10 徑向柱塞泵主要零部件動力學模型圖

3.2 仿真結果分析

仿真完成之后，對仿真結果進行分析。

1) 柱塞滾柱的運動學分析

在圖11～圖13柱塞滾柱質心的速度變化曲線圖中，實線是滾柱與轉子設置contact接觸時，滾柱的速度變化曲線；虛線是滾柱與轉子設置點線接觸時，滾柱質心的速度變化曲線。滾柱與轉子設置點線接觸是比較理想的情況，滾柱與轉子的接觸點和轉子曲線始終不脫離，因此速度曲線有著預期的零速區、加速區、等速區、減速區，其中等速區速度有不穩定的情況，原因是MATLAB導出點坐標到三維建模軟件中，會出現某些點不連續的情況，整個曲線速度最大值為35 mm/s，基本無速度突變。但是泵在實際運動過程中，在滾柱直徑取值較小時，即配合間隙較大時，速度在等速區會有突變，突變峰值能達到在46 mm/s，且速度波動變化較頻繁。當配合間隙值取最小公差時，即滾柱直徑取19.94 mm時，速度曲線波動變小，速度突變峰值也減小，整體曲線性能變好，和理想速度曲線基本重合。由于滾柱直徑略小于內曲線和回程曲線的間距，速度值不會完全按照設計的內曲線來變化，這也反映了滾柱的真實運動狀況，滾柱運動較平穩。因此滾柱直徑可按照最小配合公差取值19.94 mm。

圖11 φ19.85滾柱質心速度變化圖

圖12 φ19.89滾柱質心速度變化圖

圖13 φ19.94滾柱質心速度變化圖

圖14是在轉子轉1個作用曲線過程中，φ19.94滾柱運動位移曲線圖。實線是滾柱與轉子之間設置點線接觸時，即理想情況下的滾柱運動位移曲線；虛線是滾柱與轉子之間設置contact時滾柱的運動位移曲線，柱塞滾柱在轉子內曲線和回程曲線的作用下往復運動。實線光滑且連續，無速度突變區，符合內曲線設計目標。虛線和實線形狀相似，柱塞滾柱實際運動時平穩，無剛性沖擊，實際運行情況較好。

圖14 φ19.94滾柱的運動位移曲線圖

2) 柱塞滾柱的動力學分析

圖15是泵在運行過程中，在柱塞底部添加液壓力時，滾柱與轉子的接觸力變化曲線。高壓油作用下，滾柱與轉子的接觸力規律性地波動，整體的接觸力數值上幾乎相等。低壓油作用下的接觸力波幅度比高壓油作用下小很多，接觸力值在滾柱運動過程中也近似相等。

圖15 液壓力作用下滾柱與轉子的接觸力曲線圖

圖16是在不同轉速情況下，在柱塞底部添加液壓力時，滾柱與轉子的接觸力變化曲線。虛線是轉子轉速為10 r/min時，滾柱與轉子接觸力變化曲線，實線是轉子轉速為30 r/min時，滾柱與轉子接觸力變化曲線。從圖中可以看出，滾柱與轉子的接觸力主要與液壓力有關，接觸力周期性變化，呈鋸齒狀在一個平衡值處上下波動，整體的接觸力數值上幾乎相等。轉子轉速在10 r/min和30 r/min時，接觸力曲線波動相似，受力情況相近。由于徑向柱塞泵用于液壓風力發電機組，風力機轉速一般為10～31 r/min，而轉子與滾柱的接觸力在低速情況下有良好的穩定性，力數值變化有規律性，性能較好。

圖16 不同轉速下滾柱與轉子的接觸力曲線圖

4 結論

提出了一種內曲線轉子驅動徑向柱塞數字泵，對其進行內曲線和回程曲線的設計，并進行柱塞組件的運動學及動力學特性分析，這種泵有以下優點：

(1) 在風力發電領域有較好的應用前景，在內曲線轉子轉動1周的過程中，泵可進行多次吸油和排油，解決了傳統液壓泵在低速情況下難以實現大排量化的缺點；

(2) 內曲線轉子驅動徑向柱塞數字泵采用滾柱凸輪的接觸形式，將柱塞與轉子之間的滑動摩擦變為滾動摩擦，減小了摩擦力，提升了柱塞泵的性能和壽命；

(3) 滾柱在轉子內曲線和回程曲線的作用下來回運動，在分析比較不同滾柱直徑的運動學特性之后，確定合適的滾柱直徑，仿真結果表明滾柱運動時無較大的沖擊，回程曲線能較好地幫助柱塞完成回程動作，柱塞滾柱運動連續平穩，受力均勻有周期性。在風力低速驅動的條件下，具有良好的運動學和動力學穩定性。