基于多階固有頻率的動態法彈性模量精確測量

劉盛循， 鄧小偉， 吳益文， 余征躍

（1． 上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院，上海200240；2． 上海海關工業品中心，上海200135）

0 引 言

彈性模量是材料的基本參數，測量方法包括靜態法和動態法。由于動態法測量精度高［1］，不會對試件產生破壞，對材料的測量不受限制，對于靜態法難以測量的脆性材料仍可適用［2］，因此被廣泛使用。該方法通過對試件的一端施加一個激振力，從另一端接收信號測量試件的固有頻率，以此計算出試件的彈性模量［3］。傳統的動態法常常為懸線法，操作繁瑣，測量精度不高，許多學者對此進行了改進。段卓琦［4］認為內插法與外延法可有效測量精度；何熙起［5］研究了內插法擬合函數冪次對基頻測量的結果影響；張雄等［6］研究了懸掛點的對稱度對基頻測量的影響并提出了優化動態內插法；樊聰聰等［7］對測量裝置進行了改進，由懸掛法改為支撐法。這些方法分別從實驗測量與數據處理上對傳統方法進行了改進，對細長金屬棒試件一定程度上提高了測量精度。但薄板試件的彈性模量測量，相關的優化研究不多，原因對自由邊界條件薄板的力學建模比較復雜，解析解的形函數難以求得。美國材料實驗協會標準ASTM E11［8］及國標GBT 22315［9］均給出了近似公式，兩者并無實質區別。該方法采用一組基頻計算彈性模量，測量效率高，但測量結果的波動性較大，不滿足精度要求較高的測量。

本文以薄板為試樣，采用激光測振儀精確測量薄板試樣的多階固有頻率。同時以彈性模量參數為變量對試樣進行有限元仿真，比較各階固有頻率仿真值與實測值，取結果最為吻合的彈性模量參數作為測試結果。該方法綜合了多階固有頻率的誤差，避免了基頻的波動對測量結果的影響，提供了一種精確測量彈性模量的方法。

1 多階固有頻率測量薄板彈性模量的方法

首先，由于該方法對各階頻率的測量精度較為敏感，故選用高精度的激光測振儀進行測量。激光測振儀的原理是通過激光測得多普勒頻移，計算出垂直物體表面的振動速度，進而準確測得各階固有頻率［10-11］。其次，對于不同形狀的試樣，其形函數各不相同，尤其是形狀不規則的試樣，精確計算的顯式解難以求得［12］，需要通過取振型系數的最大項進行簡化［13-14］，考慮到方法的便利性與通用性，采用有限元仿真的Block-Lanczos計算方法。該算法有效性、可靠性高［15］。然后，在仿真階段通過調整彈性模量參數，計算出不同彈性模量下的各階固有頻率，形狀簡單的材料可采用高密度網絡，提升數值解的精度。最后，比較各階頻率在不同彈性模量參數下的仿真值與激光測振儀測得的實測值，將綜合各階誤差最小的彈性模量仿真參數作為最終的精確測量結果。

2 激光測振儀測薄板頻率

實驗儀器為游標卡尺、激光測振儀、海綿墊、力錘、計算機ANSYS軟件。實驗構件為3 塊A356-T6 材料的鋁合金薄板。使用游標卡尺測得3 個試件的尺寸，如表1 所示。

金屬薄板置于海綿墊上，將激光測振儀的激光束照射在金屬薄板的1 ／ 7 ～1 ／ 8 處，盡可能避開前幾階模態的節點，使用小型力錘輕擊金屬薄板，使之產生自由振動。測量軟件選用PSV acquisition，測振儀靈敏度設置為［（mm·s-1）·V-1］，預觸發的樣本時間設置為20%。以試件1 為例，敲擊試件后采集到的自由振動速度曲線，如圖2 所示。經過多次敲擊，經傅里葉分析得到平均后頻譜曲線，如圖3 所示，并將測得的多階彎曲固有頻率繪制在表2 中。

表1 試件幾何參數 mm

圖1 實驗系統示意圖

圖2 自由振動速度曲

圖3 振動頻譜曲線

表2 試件頻率測量結果 Hz

3 數值結合測薄板彈性模量

由于理論解中彈性模量的形函數不易求得，為了盡可能逼近彈性模量的理論解，本文采用有限元法進行計算，找出最理想的彈性模量參數，使在該參數下計算出的各階固有頻率與激光測振儀實測的各階固有頻率最為吻合，將此時的彈性模量參數作為最終測試結果。具體算法如下：

（1）設定一個彈性模量的預估范圍［Emin，Emax］與計算步長Δh。

（2）使用Ansys 有限元軟件建模并輸入試件參數，單元定義為殼單元，類型為3D 8node 281，殼單元設置中輸入厚度。第1 次計算時彈性模量參數為設定范圍的最小值E1＝Emin。選擇合適的單元長度劃分單元網格，以試件1＃為例，單元長度為0． 5 mm，劃分單元的網格。分析類型為模態分析，在分析設置中選擇Block Lanczos法，提取20 階模態，擴展20 階模態，設置最低頻率為10 Hz，去掉剛體位移，得到仿真的多階固有頻率與振型。通過振型判斷其中的多階彎曲頻率，本文選取了前三階彎曲頻率，其振型如圖4、5、6 所示。同時使用獲得的振型來判定實測固有頻率所對應的振型。

圖4 一階彎曲振型

圖5 二階彎曲振型

圖6 三階彎曲振型

分別與激光測振儀實測試件的多階彎曲頻率比較，計算出綜合誤差e1，e1同時也是目前計算的最小綜合誤差e，綜合誤差的計算方法如下式表示：

將第1 次計算采用的彈性模量參數E1保存為E。

（3）將上一次彈性模量參數增加步長Δh，即Ei＝Ei-1+ Δh，得到新的彈性模量參數下計算出的多階固有頻率，再次計算出其綜合誤差ei，比較ei與最小綜合誤差e，若ei＜e，則將最小綜合誤差e更新為此次計算出的綜合誤差ei，并將此時的彈性模量參數Ei保存為E。

（4）重復過程（3），直到最新的彈性模量Ei超過設定范圍的最大值Emax，輸出保存的最終的彈性模量E。

整個數值計算框圖如圖7 所示。

圖7 數值計算框圖

上述算法可通過命令流進行自動計算。以試件1為例，本次實驗試件彈性模量的預估范圍設置為50 ～100 GPa，記錄多階彎曲固有頻率。將有限元仿真結果與實測結果比較，并計算出綜合誤差，取部分數據繪制出表3。試件1 在不同彈性模量參數下計算出的綜合誤差如圖8 所示。

圖8 彈性模量的綜合誤差曲線

由圖8 或表3 可知，彈性模量為71． 3 GPa時綜合誤差最小。而采用ASTM標準中近似公式計算出的彈性模量為69． 8 GPa，兩者結果較為接近。

采用相同方法測量試件2、3，其結果分別為73． 7、71． 1 GPa，采用ASTM 標準的計算結果分別為72． 4，69． 6 GPa。

4 實驗結果比較

采用單軸拉伸法（靜態法）對被測試樣的彈性模量進行再次測量，將其結果作為參照，分別比較本方法的測量結果與ASTM標準的測量結果，繪制成表4。

表3 各彈性模量參數的綜合誤差

表4 結果比較

由表4 可以看出，基于多階固有頻率法測得的彈性模量結果與拉伸法的結果更為接近，基于多階固有頻率法測得的彈性模量與ASTM標準的近似公式法相比，相對精度由3． 03%提高至1． 24%，方差由1． 626 7降低為1． 395 6，結果更為準確穩定。

5 結 語

本文提出了一種更精確的動態測量彈性模量方法，使用激光測振儀精確測得薄板的多階固有頻率，通過數值計算改變彈性模量的參數，比較各階固有頻率的仿真值與實測值，取綜合各階誤差最小的彈性模量參數作為最終測試結果。傳統的動態法僅采用基頻作為測量數據；本方法綜合了各階頻率的誤差，降低了基頻數據的波動對測量結果的影響，提高了測量結果的穩定性與準確性。傳統的動態法常常要求被測試件的形狀較為規則；本方法由于采用了數值仿真計算，對所測試件的形狀可不作要求，擴大了測量試件的范圍。且該方法還可擴展至剪切模量的測量。