平面六桿機構的運動仿真研究

張聚濤，王 庚

(唐山學院 教務處，河北 唐山 063000)

連桿機構在實際生產、生活中有著廣泛的應用，其傳統的設計方法繁瑣復雜，通過計算機輔助設計可以實現連桿機構運動和連桿曲線動畫演示[1]，對提高設計速度和質量有重要意義。

1 平面六桿機構模型的創建

圖1為平面六桿機構，此六桿機構是在五桿機構的基礎上，加入桿2，再在桿1與桿2之間加入一對齒輪，其他各桿采用鉸接傳動。要想對圖示的六桿機構進行運動仿真，首先要分析其桿1，桿2和桿5在運動時曲柄的存在條件。

圖1 平面六桿機構示意圖

2 平面六桿機構中曲柄的存在條件

2.1 曲柄存在的充分條件

六桿機構首先要滿足其裝配條件[2]。當圖1的六桿機構運動到極端位置時，桿3和桿4組成的三角形CDE只要滿足三角形構成的邊長定理，六桿機構即可滿足裝配條件。

l3+l4≥lmax，

|l3-l4|≤lmin。

其中，l3，l4分別為桿3和桿4的長；lmax，lmin分別為CE兩點間的最大距離和最小距離。

只要圖1六桿機構在不同極端位置時CE兩點之間的最大距離lmax和最小距離lmin滿足裝配條件，即可確保桿1，桿2和桿5都為曲柄。

設圖1六桿機構中桿1，桿2，桿5，桿6的長分別為l1，l2，l5，l6，桿5的旋轉半徑為R=l5，桿1和桿2的最大旋轉半徑為R1=l1+l2，桿1和桿2的最小旋轉半徑為R2=|l1-l2|。下面分情況討論六桿機構運動到極端位置時，lmax和lmin的大小。

2.1.1 當l1+l2≤|l5-l6|時

情形1

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l6-l1-l2-l5。

情形2

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l5-l1-l2-l6。

2.1.2 當|l5-l6|≤l1+l2≤l5+l6時

情形3

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=0。

情形4

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=0。

2.1.3 當l1+l2≥l5+l6且|l1-l2|≤|l5-l6|時

(1)max(l1，l2)

情形5

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l1+l2-l5-l6。

情形6

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l1+l2-l5-l6。

(2)max(l1，l2)>max(l5，l6)

情形7

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l6+|l1-l2|-l5。

情形8

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l5+|l1-l2|-l6。

2.1.4 |l1-l2|≥|l5+l6|且l1+l2≥l5+l6時

情形9

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=0。

情形10

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=0。

2.1.5 |l1-l2|≥(l5+l6)時

情形11

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=|l1-l2|-(l5+l6)。

情形12

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=|l1-l2|-(l5+l6)。

將上述12種情形的極值代入到裝配條件公式，綜合分析可得桿3和桿4的取值范圍。桿3和桿4滿足這個取值范圍，可保證桿1，桿2與桿5為曲柄，即六桿機構曲柄存在充分條件為：

(1)l1+l2≤|l5-l6|時，l1+l2+l5+l6≤l3+l4，|l5-l6|-(l1+l2)≥|l3-l4|。

(2)|l5-l6|≤l1+l2≤l5+l6時，l1+l2+l5+l6≤l3+l4，|l3-l4|≤0。

(3)l1+l2≥l5+l6且|l1-l2|≤|l5-l6|時，(a)max(l1，l2)max(l5，l6)，則l1+l2+l5+l6≤l3+l4，|l5-l6|-|l1-l2|≥|l3-l4|。

(4)|l1-l2|≥|l5-l6|且l1+l2≥l5+l6時，l1+l2+l5+l6≤l3+l4，|l3-l4|≤0。

(5)|l1-l2|≥|l5-l6|時，l1+l2+l5+l6≤l3+l4，|l1-l2|-(l5+l6)≥|l3-l4|。

2.2 曲柄存在的必要條件

平面六桿機構夾角情況如圖2所示。

圖2 平面六桿機構夾角示意圖

C，E兩點的坐標為：

Cx=l1cosα1+l2cosα2，Cy=l1sinα1+l2sinα2；Ex=l6+l5cosα5，Ey=l5sinα5。

則桿1與桿5兩原動件按一定規律運動時，CE之間的距離l滿足：

l2=(Cx-Ex)2+(Cy-Ey)2=l12+l22+l52+l62+2l1l2cos(α1-α2)-2l1l5cos(α1-α5)-2l2l5cos(α2-α5)+2l6l5cosα5-2l6l1cosα1-2l6l2cosα2。

3 平面六桿機構的動態演示

依據連桿機構組成原理，可把圖1六桿機構拆解為一級桿組和二級桿組(如圖3所示)，通過確定一級桿組和二級桿組端點位置坐標之間的函數關系，來確定六桿機構各端點的位置[3]，然后編制一級桿組和二級桿組的程序進行解析計算，求得D點坐標軌跡。

圖3 平面六桿機構的結構分析

3.1 一級桿組子程序Crank_w的解析計算

一級桿組示意圖如圖4所示。

圖4 一級桿組示意圖

設桿長pq為l，求得桿長在X，Y軸上的投影方程為：

c(i)=lcosθ，s(i)=lsinθ。

P點坐標為：

x(q)=x(p)+c(i)，y(q)=y(p)+s(i)。

3.2 二級桿組子程序Crank_w的解析計算

二級桿組示意圖如圖5所示。設桿CD的長度為li，桿DE的長度為lj，C點的位置為(xc，yc)，E點的位置為(xe，ye)，求D點的位置(xd，yd)。

圖5 二級桿組示意圖

內運動副D的矢量方程在X，Y軸上的投影方程為：

xd=xc+licosφi=xe+ljcosφj，

yd=yc+lisinφi=ye+ljsinφj。

或寫成：

ljcosφj=licosφi-(xe-xc)，

ljsinφj=lisinφi-(ye-yc)。

將上兩式兩邊分別平方后相加整理得：

Aocosφi+Bosinφj-Co=0。

連桿機構能夠裝配，必須同時滿足曲柄存在條件公式。

又因為：

則原式化為：

實際中桿1和桿5旋轉時有逆時針和順時針兩種運動情況，因此φi有正負兩種取值，上式得：

(Ao+Co)。

當C，D，E為順時針排列時，取m=+1；當C，D，E為逆時針排列時，取m=-1。

為了求出構件lj的角位置，可先求出D點的坐標值。

xd=xe+licosφi，

yd=ye+lisinφi。

于是便得到：

φj=arctan[(yd-ye)/(xd-xe)]。

3.3 仿真演示

通過給定各桿的長度l1，l2，l3，l4，l5，l6，初相位角φi，φj和角速度ω，以及編制的一級桿組和二級桿組子程序Crank_w可得各端點的位置，調用子程序DRAWLINE可以畫出各桿的位置和D點的一個軌跡點，然后用Delphi編程的TIMER控件產生等時長的脈沖，不斷地重繪直線和點，從而產生動畫效果，并得到D點的軌跡，如圖6所示。

3.4 D點軌跡曲線的形成

圖6中D點的軌跡曲線是離散點的集合，需要將這些點擬合成一條連續的曲線作為D點的軌跡曲線。對于軌跡點的擬合有最小二乘法、貝奇愛曲線、B樣條曲線等，通過比較選取B樣條曲線擬合法。

圖6 平面六桿機構仿真演示

由已知D點的型值點(D點的軌跡點)，通過型值點反算可得到B樣條曲線的控制頂點坐標，編寫相應程序，就能對D點的軌跡點進行擬合，擬合后的曲線如圖7所示。

圖7 平面六桿機構D點的運動擬合軌跡

4 結論

本文通過分析平面六桿機構曲柄的存在條件，運用Delphi編程實現了六桿機構和連桿曲線的可視化顯示，通過改變桿長、傳動比、相位角等參數，可以實現不同連桿機構的運動仿真，對實際的連桿機構設計和教學演示有一定的意義。