淺談反證法在高中代數中的一些應用

張昕

摘 要：反證法是高中階段需要掌握的基本證明方法，它在中學數學中有著廣泛的應用。了解反證法的思維方式，強調反證法中的逆向思維對于解決相關命題的重要性，引導并要求學生能用逆向思維解決更多的數學問題，特別是對于一些難度比較大的證明題，靈活地運用反證法，就能迎刃而解。本文首先介紹了反證法的相關基礎知識，通過分析命題，總結反證法在各類命題中的使用規律，然后歸納出反證法在中學數學代數解題中的應用。

關鍵字：反證法;證明;逆向思維

反證法是間接論證的方法之一，是通過推論出與論題相矛盾的命題來確定原論題的真實性的一種方法。即肯定題設而否定結論，從而導出矛盾，推理而得。也就是說假設命題的結論不成立，在已知條件和“否定命題結論”的新條件下，通過邏輯推理，得出與公理、定理、題設相矛盾的結論或自相矛盾的結論，從而得出命題結論的反面不成立，即證明了原命題結論一定是正確的。

1.反證法的一般步驟

反證法的證明模式可以簡單的概括為兩個否定，一個推理。也就是否定結論，再利用相關的知識點，正確無誤的推導出與邏輯矛盾的結果，最后便可以否定剛開始的否定。所以可以得出反證法證明命題的一般步驟，如下：

（1）反設。假設原命題反設成立;

（2）歸謬。從命題的假設出發，經過相關推理得出和反面命題矛盾，或者與定義、公理、定理相矛盾的結論;

（3）結論。得出假設命題不成立，即證明原命題成立

2.反證法在代數中的應用

反證法是高中數學的重點和難點之一。盡管在平時一些定理或者命題的證明中，學生接觸過一些，但是接觸的都比較淺，印象不是特別的深，以至于在解題過程中，根本沒有運用反證法來解決問題的意識。所以在平時的課堂中，可以加入反證法來對例題進行另種方法的講解，在其講解過程中，反復地強調反證法的邏輯思維，讓反證法漸漸滲透到學生的數學思想中，培養學生多維度思考問題的能力以及學生的逆向思維能力。

下面我們來看看反證法在高中代數中的簡單運用。

2.1 肯定性命題

反證法可以用來解決結論里面出現“一定是”、“是”等肯定性詞語的命題。

分析：如果應用反證法，那么首先要找到原命題結論的對立面，也就是有且只有的對立面，那就是至少有兩個，再根據相關的知識點，來推導出與已知矛盾的結論。

小結：可能同時大于的矛盾面，就是同時大于，從這個矛盾角度入手，去構造出與原命題相關的式子，然后通過一系列的計算推導出與已知矛盾的結論，最后得出相對應的結論，也就是原命題成立，得證。

分析：這個是一個用反證法證明不等式的問題，總體思想是，首先假設原命題不成立，試著推出與假設不一致的結論，進而說明原命題是正確的。由題意知，要證中至少有一個大于0，可設都不大于0。即，那么接下來可以根據已知條件將化為的形式，判斷其取值范圍，與進行比較即可解答。

2.4否定性命題

命題中含有某些像“沒有”、“不”、“無”等否定性的詞語，那么這個時候可以采用反證法來巧妙的解決證明題。

參考文獻

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