二叉樹定價理論在中國金融市場的應用

孟延

摘要：作為一種重要的金融衍生品，期權可以械投資者用于減少風險（“對沖”）或增加風險（“投機”），以此來實現自身的投資目標，一個合理的期權定價對于投資者來說非常重要。本文運用二叉樹模型，對中國期權市場中的歐式期權進行定價與分析，以R語言為媒介完成了從數據獲取到模型建立的過程，并對擬合結果進行了分析，為一定情況下國內市場的期權定價提供了一定的參考。

關鍵詞：期權;定價;二叉樹模型;R語言

上證50ETF期權是以上證60為標的物的上證60etf交易型指數基金為標的衍生的標準化合約，于2015年2月9日由上海證券交易所上市，是國內的第一支期權。本文將選取華夏上證50ETF期權1910認購2.70、2.80、2.90、3.00、3.10等五支期權作為標的資產。

一、數據獲取

本文采用R語言中的Tushare包獲取上證50etf期權及其對應基金的厲史數據。

二、模型建立

建立一個二叉樹期權定價模型，我們需要確認標的物價格（S）、期權執行價格（K）、二叉樹步長（T）及步數（N）、市場無風險利率（r）、標的物價格變動比率（u及d）。

（一）基金價格S

選取2019年7月1日至2019年10月1日期間每個交易日的基金收盤價作為標的資產的價格S。上證50ETF的歷史價格統計如下：

（二）期權執行價格（K）

由選取的標的資產名稱可見，執行價格分別為K₁=2.70、K₂=2.80、K₃=2.90、K₄=3.00、K₅=3.10。

（三）二叉樹步長（T）及步數（N）

本文選取華夏上證5OFTF期權1910于2019年9月19日的價格作為模擬對象，由于標的資產的到期日為2019年10月1日，且期權市場周末關閉，因此價格變動步長N=7。由于我們選取的是上證50ETF基金每天的收盤價作為標的資產不同時間段的價格，因此模型中標的資產的價格是一天一變的，即T=1。

（四）市場無風險利率（r）

由于不清楚國內市場中投資者的投資偏好，在這里我們選取三個風險相對較低的投資方式，即活期存款、定期存款及貨幣基金的利率分別作為無風險利率，分別帶人模型進行擬合，選取較為合適的一個。

根據央行發布的2019年金融機構人民幣存款基準利率調整表，2019年活期存款年利率為035%，3月期的定期存款年利率為1.10%。

根據支付寶數據，月報貨幣基金七日年化收益率為1.39%。

（五）標的資產價格變動比率（u和d）

標的資產價格變動比率并不能直接從市場上獲得，而需要進行合理的估算，這需要標的資產的收益率及波動率。

1.收益率

我們將基金每日價格進行差分，得到基金的每日漲跌額，并將其與前一日的基金收盤價相處，得到基金的每日收益率，其計算公式如下：

Rt=St-St-1/St-1

計算后基金每日收益率統計如下：

2.數據驗證

為了排除偶然因素的干擾，提高數據的可靠度，我們借助R語言判斷收益率數據是否滿足正態分布，并得到結果如下：

可見數據通過假設檢驗，滿足正態分布，從而驗證了數據的準確性及有效性。

3.波動率

波動率分為歷史波動率及隱含波動率兩種，其中，歷史波動率是標的資產歷史收益率的標準差，而隱含波動率是將目前的市場價格反向帶人B-S模型求解出來的，包含了投資者對未來波動率的預期。本篇文章中，由于缺乏隱含波動率信息獲取渠道，我們將代人歷史波動率進行計算。

波動率可由標的資產的收益率標準差得到。根據統計出的上證50ETF基金2019年9月I日至2019年11月I日的收益率，我們計算出標準差，用σ來表示標的資產的歷史波動率，從而得到σ=0.0100843

4.價格變動比率（u、d）0.9899664。

三、模型結果比較分析

我們選取2019年9月19日的上證50ETF期權作為估值對象，將現價S=3.026，行權價K=2.70、2.80、2.90，無風險利率r=0.35%、1.10%、1.39%，期限T=11，二叉樹步數N=7，波動率σ=0.0100943代入二叉樹模型進行計算，得到如下結果：

由表可見，當行權價為2.70、2.80、2.90時，模型擬合較為成功，在三種不同的無風險利率情況下，誤差都在4.1%左右。三種利率的差異不大，其中活期利率誤差最小。這與我們設定的二叉樹周期較短存在一定的關系。

當計算周期較長的期權價格時，應盡量采用活期利率進行計算，可以使結果更為精準。

值得注意的是，當行權價為3.00及3.10時，模型出現了較大的偏差。這展現了二叉樹模型的缺陷，即在步數N較短的情況下，對于小概率的邊緣價格的估計會出現較大偏差，這個問題可以通過縮短步長T、增加步數N來解決。在增加步數時，需要注意兩個問題。其一是，在期權有效時間固定的情況下，增加步數意味著必須將步長縮短至不足一天，波動率的計算將無法利用期權市場每日發布的收盤價，而必須通過更為精確的實時期權價格進行計算，大大增加了信息收集的難度;其二是，當步數較多時，二叉樹模型的計算量將成倍增長。因此，當運用二叉樹模型時，選擇一個合適的T及N極為重要。

四、結語

在使用工具方面，本文從獲取數據到建立模型均采用R語言編程進行，結果的求』1又較為便利。通過將真實數據與模擬價格進行比對，可以發現，在情況適宜的情況下，二叉樹模型擬合良好，誤差率在4.1%左右，這表明二叉樹模型對于中國金融市場中的期權定價具有重要的應用價值。

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