“三個理解”指導下的“圓周角”教學探討

王文泉

[摘? 要] “三個理解”可以為初中數學“圓周角”提供教學指導，即遵循學生認知規律，定理概念自然生成，實施探究式教學，以知識應用為目的，提升學生的綜合素養. 文章結合“圓周角”的核心內容進行教學探討，提出相應的建議.

[關鍵詞] 圓周角;概念;定理;探究;應用

“理解數學、理解學生、理解教學”是當下數學教學所倡導的理念. 教學中需要用數學的觀念來研究教材內容，尊重學生的認知結構，采用合理的探究手段，設置教學環節，培養學生的綜合能力. 本文以湘教版九年級下冊的“圓周角”為例，開展教學探討.

概念“源”生成，新知自然過渡

“圓周角”章節的核心內容是圓周角的概念和圓周角定理，定理揭示了“位置關系”與“數量關系”之間的統一. 對于該部分的教學，需要以基本概念為基礎，立足概念“脈源”，以對應問題為引擎，助推新知過渡. 教學時，需要分析概念知識的源頭，從整體、系統的觀念審視教材，設計教學引入，讓新知自然生成.

從“圓周角”的概念來看，是在圓與點、線段、弧的關系上的深入研究，屬于圓心角之外的另一類角. 教學中需要引導學生從“形”上關注其特征，從“數”上認識兩條弦的開口大小，理解圓周角具有“形”與“量”的含義，建立“數”“形”之間的關聯. 綜合概念的前后關聯和學生的認知能力，教學中建議以圓心角為切入點，結合相應的教具來開展活動，以完成概念的挖掘、定義，具體如下.

使用圖1所示的教具展示圓心角，讓學生思考其中的∠AOB是什么角，進行舊知的回顧. 接著引導學生關注教具中頂點C的位置，通過移動點C來改變∠ACB的形態，讓學生思考該角是否還是圓心角，并對比變化前后的圖形. 通過觀察、對比的方式，學生很容易便獲得圓周角的特征——頂點在圓周上，且角兩邊均與圓相交，從而完成圓周角概念的歸納.

為強化學生對概念的理解，教學中還可以利用教具演示出圖2所示的角，讓學生分析角的特征，結合圓周角的概念對其加以判斷，并說明理由. 引導時，同樣立足角定義中“頂點”和“邊”的特征，讓學生仔細觀察，獨立概括，深入理解.

教學中，教師應合理使用教具，動態呈現圓心角到圓周角的變化過程，體驗與圓相關的角的形成，認識兩者的異同. 直觀的圖形有助于學生認識角，而概括定義時可以發揮學生的智慧，提升學生的歸納總結能力.

循序推進新知，體驗探究活動

根據建構理論可知，只有學生自主參與探究實踐活動，建構新知，才是科學合理、符合認知規律的. 因此開展圓周角定義教學需要設計教學活動，引導學生參與探究活動，從而自主獲取新知. 結合核心教學內容開展探究證明活動可以按照如下思路進行：啟發思維——動手實踐——領悟歸納，即首先啟發學生關注圓心角和圓周角的位置關系，然后通過動手實踐進行猜想驗證，最后領悟內涵，歸納定理.

三個環節需要完成定理的猜想與證明，考慮到圓周角定理中包含圓周角與圓心角的位置關系和數量關系兩大核心內容，因此設計教學時需要分別設計探究活動：啟發思維——圍繞定理的位置關系，動手實踐——圍繞定理的數量關系，領悟歸納——重視定理的論證.

在“啟發思維”階段可以設計兩大活動：一是分析一條弧所對圓心角和圓周角的個數;二是探索圓心與圓周角的位置關系.

活動一：讓學生利用手中的道具和皮筋，結合圓周上的固定點B和C來構建圓心角和圓周角，然后小組內觀察所構圓心角和圓周角是否相同，思考對于同一弧所對的圓心角和圓周角各有多少個，如圖3、圖4和圖5.

活動二：在活動一的基礎上讓大家展示所構建的圖形（如圖6、圖7、圖8），分析圖中圓心與圓周角的位置關系.

教學中可以引入“相對”位置，包括圓心位于∠BAC的內部、一邊上和外部，確保位置關系無疏漏. 利用直觀的圖像開展分類探討，強調“同一弧”“相對”等關鍵詞.

“動手實踐”階段的重點是完成定理的數量關系論證，需要滲透幾何的邏輯推理，建立定理的嚴密性. 教學活動建議取圓心角與圓周角的一種特殊情形，通過測量來做出猜想，然后進行推理、驗證.

活動三：小組之間協同測量每一種方案圖形中圓心角和圓周角的大小，分析兩者的大小關系，討論并做出猜想.

考慮到測量時存在一定的誤差，可以建議學生進行多次測量，而驗證時可以先以“圓心位于圓周角一邊上”為例開展探究，然后指導學生聯系該種情形對其他兩種情形進行驗證，通過“化抽象為具體，化一般為特殊”的方式實現定理的論證，具體轉化圖如圖9所示.

以圖9①為例，根據情形一的結論可知∠BAD= ∠BOD. 同理可得∠CAD= ∠COD，所以∠BAD+∠CAD= ∠BOD+ ∠COD，整理后可得∠BAC= ∠BOC.

“領悟歸納”階段實則是對所推導的角度關系的概括. 歸納中需要重視兩方面的內容：一是基于位置關系進行驗證，采用分類討論的方法，歸納時需要對其整合;二是完成語言之間的互化，包括定理的數學語言與文字語言之間的相互轉化.

教學中可以引導學生思考如下兩個問題：

（1）同弧或等弧所對的圓周角之間有著怎樣的數量關系？

（2）同弧所對的圓周角與圓心角之間有著怎樣的數量關系？

學生完成上述問題探究后可以自然而然地初步概括定理，之后教學中只需要在此基礎上進行補充，重點強調其中的“同圓或等圓”“同弧或等弧”“所對”“一半”等關鍵詞，幫助學生提升思維的嚴謹性.

上述實踐活動由觀察、度量到實驗操作，由圖形變換到推理論證，環節設計以活動為主，以問題為引導，采用循序漸進的方式開展定理探究. 教學引導中環環相扣，突出重點，實現了以學生為主的探究式教學. 同時，整個教學中滲透了分類討論和化歸轉化等思想方法，這對于提升學生的數學思維來說有著極大的幫助.

靈活變式拓展，增強定理應用

完成圓周角定理的推理探究，則本章節的基本目標初步達成. 但定理學習的最終目的是“學以致用”，因此，在教學中有必要設計相應的應用問題，利用問題鏈來幫助學生強化定理，提升定理的應用能力. 問題設計需要從兩方面進行：一是以幾何為基礎的變式問題，拓展學生的思維;二是結合生活的實際問題，提升定理的應用性.

對于第一種情形的變式探究，可以結合相關的幾何問題來設問. 例如，三角形和四邊形：如圖10所示，⊙O是以AB為直徑的圓，點C和點D在圓上. 已知AC=6，AB=10，CD是∠ACB的平分線，連接AD和BD，試判斷△ABD的形狀，并求出其面積.

教學引導：教學中首先基于圓周角定理提煉直角三角形，然后結合勾股定理求出線段BC的長，讓學生思考其中AD和BD的求解方法. 分析點D在半圓弧上的位置，然后結合圓周角定理判斷線段AD與DB的大小關系，為后續確定△ABD為等腰直角三角形做鋪墊.

而探究圓周角定理在實際問題中的應用時需要融合建模思想——從實際問題中抽象數學模型，利用數學模型來解決問題. 以射門問題為例：如圖11，在足球訓練場上，教練在球門前劃定一個圓圈，對于C，D，E三點，你認為哪個位置射中的概率更高？請說明理由.

教學引導：引導學生根據圖像來構建模型，分析C，D，E三點的相對位置，可知分別位于圓上、圓外和圓內. 由于點E位于圓內，所以可以將其放置于圓內的特殊位置——圓心O處，同時在靠近點D處圓上取一點F，繪制如圖12所示的圖形.

首先引導學生明晰“角度越大，射中概率越大”，然后結合圓周角定理進行如下角度的大小分析.

（1）∠ACB<∠AEB——同圓或等圓上，同弧或等弧所對的圓周角等于該弧所對圓心角的一半;

（2）∠ACB=∠AFB——同圓或等圓上，同弧或等弧所對的圓周角相等;

（3）∠AFB>∠ADB——基于三角形內角直接比較.

根據上述關系，學生很容易得出結論. 同時，由定理探討結論的過程，有助于強化學生的邏輯思維，能提升學生應用所學知識解決實際問題的能力.

寫在最后

基于“三個理解”開展的教學設計，兼顧了教材核心內容與學生的認知能力，融合了定理知識和數學思想，充分揭示了數學本質，凸顯了數學素養，探究活動更為合理，更能挖掘知識背后的潛在價值. 總之，以“三個理解”為指導思想開展“圓周角”內容教學，可以充分調動學生參與知識探究，能激發學生的數學思維，全方位地提升學生的能力.