2020年高考數學試題中的應用題評析

盧妮 蔡海濤

《普通高中數學課程標準（2017年版2020修訂）》明確指出：數學與人類生活和社會發展緊密相連，考查學生觀察、分析、建模、應用所學知識解決實際問題的能力，不僅是課標的要求，也是社會發展的需求，下面筆者以幾道2020年高考數學應用題為例，談一談這類試題的特征及其對教學的啟示。

例1.（2020年高考全國卷I理科，第3題），如圖1.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）。

評析：本題以世界建筑奇跡古埃及胡夫金字塔為背景，將四棱錐與世界文化遺產相結合，重點考查了四棱錐的幾何性質以及四邊形、三角形的面積公式等內容，考查學生的空間想象能力，直觀想象及數學運算等核心素養，考生需要靈活運用化歸與轉化思想，將立體幾何問題轉化為平面幾何問題來求解。

例2.（2020年高考全國卷Ⅱ理科，第4題），如圖2.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊，已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）。

A，3699塊 B，3474塊 C，3402塊 D，3339塊

評析：本題以北京天壇的圜丘壇為背景，考查了等差數列前n項和等內容，重點對考生的推理論證能力、運算求解能力，以及邏輯推理與數學運算等核心素養進行考查，考生需要仔細讀題，找出每環扇面形石板增加的規律，求出數列的通項以及和，然后靈活運用函數與方程思想，建立關系式，

這兩道試題一中一外均貼近生活，教師在教學中，要注意引導學生關注人類社會與文明發展，弘揚中國傳統文化，吸收世界數學文化的精華，讓學生用數學的眼光看世界，善于觀察生活，提升其解決實際問題的能力。

例3.（2020年高考全國卷I理科，第19題）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰;當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束，經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空，設每場比賽雙方獲勝的概率都為1/2.，

（1）求甲連勝四場的概率;

（2）求需要進行第五場比賽的概率;

（3）求丙最終獲勝的概率，

評析：本題是以學生熟悉的體育生活——羽毛球比賽的情境為載體，以參賽人的獲勝概率來命題，將概率知識在生活中的應用作為考查目標，要求學生靈活應用所學的概率知識解題，重在考查相互獨立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式、對立事件的概率公式等基礎知識以及求概率的方法，對學生的數學運算、數學建模、數據分析等核心素養進行了考查，對于第1問，學生根據獨立事件概率的乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率;第2問需要計算出四局以內結束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式求出所求事件的概率;第3問需要首先列舉出甲贏的基本事件，結合獨立事件概率的乘法公式計算出甲贏的概率，再利用對立事件的概率公式求得丙贏的概率，三個問題環環相扣，教師要鼓勵學生自主嘗試建模、分析數據等，有意識地鍛煉學生獨立分析、轉化、解決問題的能力。

2020年高考全國卷凸顯了數學知識的實用性，教師在教學中，應引導學生關注數學在生活中的應用;精選習題，引導他們建立數學模型，應用所學知識分析、解決問題，培養他們直觀想象、數學運算、邏輯推理、數學分析等素養。

本文系2020年福建省電化教育館課題《基于動態數學技術環境高中實驗教學的實踐研究》（課題編號閩教電館KT2042）研究成果。

（作者單位：福建省莆田第二中學）