橢圓、雙曲線離心率的求解方法

李偉?蔣金鳳

摘要：圓錐曲線的離心率是解析幾何的重要知識點同時也是高考考察的重點內容。有很多學生覺得很難駕馭，其實我們在做題的過程中只要掌握方法和規律，就沒有問題了。在研究幾何問題時無非就是“數”，不行就研究“形”，再不行就數形結合同時加上化歸轉化。本文主要從數和形兩方面入手，分別用“定義法”、“方程法”（包括直接列示和構造法）、“平面幾何法”（尋找相等關系和不等關系）闡述了離心率的求法。并且配備了相應的聯系，有助于學生實踐。

關鍵詞：橢圓;雙曲線;離心率

離心率是圓錐曲線的一個重要的幾何性質，它反映了圓錐曲線的形狀。橢圓的離心率反映的是其圓扁程度，雙曲線的離心率反映的是其開口的大小.由于拋物線的離心率是1，所以我們不對其進行研究.由于在求解離心率時題型較為靈活，所以很多同學不是很容易上手.下面我就求離心率問題談談其解法，希望對同學們能有所幫助！

一、利用平面幾何知識簡化計算

例已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若△ABF2是正三角形，求這個橢圓的離心率.

分析：本題已知橢圓的兩焦點和橢圓上的兩個點，那么應該用到橢圓的定義.又因為出現了一個正三角形所以我們應該畫個圖來直觀感知一下.通過畫圖我們會發現：F1F2的長度即為2c而它是正三角形△ABF2的高線 ，那么該三角形的邊長可以用c表示，再由橢圓的定義就可得a和c的關系式，得解.

解法一：畫草圖如下圖所示：

因為F1、F2是橢圓的兩個焦點

所以，│F1F2│= 2c

又過F1且與橢圓長軸垂直的直線

交橢圓于A、B兩點且△ABF2是正三角形

所以，線段F1F2是正三角形的高線，由平面幾何知識可得：

│AF2│=? ?， │AF1│=? ?由橢圓的定義得：

│AF1│+│AF2│= 2a

所以， + = 2a? ? ? 所以e =? =

解法二：設橢圓的標準方程為：+=1（a>b>0）

因為F1為橢圓的左焦點，且直線AB過F1與x軸垂直

所以，點A的橫坐標為-c

將-c代入橢圓的標準方程解理得：

所以，│AF1│=? ? 因為△ABF2是正三角形

所以∠F1AF2=60°

在RT△AF1F2中：tan 60°===? ，因為b2= a2 -c2

整理得： -+2ac = 0? 兩邊同時除以a2

得：e2 + 2e -= = 0  解得： e= （舍負） .

解法三：由解法一知： │AF1│=

由解法二知： │AF1│=

所以 ，? ?， 剩余的計算同解法二.

解法四： 設橢圓的標準方程為：+=1（a>b>0）

由解法一知： A（-c， 因為點A在橢圓上

所以，將其代入橢圓的標準方程得：+=1 ③

將b2= a2 -c2代入③整理得：3c4+3a4-10a2c2 = 0? 兩邊同時除以a4 得：3e4-10e2+3=0? 解得：e2=1（舍）或

所以，e= （舍負） .

小結：本題解法一體現了正三角形邊角關系的優越性，結合橢圓的定義很輕松地得到了a 和c的關系，簡化了計算，這也是用定義的優越性.解法二用了解方程求點的坐標的方法，然后再利用正三角形列出等式關系，再進行計算的方法. 解法三：分別用代數和幾何法求出AF1的長度列出等式得方程.解法四利用正三角形的性質求出點A的坐標，利用點在橢圓上代入的方程，但是運算量較大.以上四種方法對比我們發現如果能較好地利用曲線的定義和平面幾何的相關知識，能避免大量的運算，提高準確率和解題速度.

作者單位：1.通州區永樂店中學?2.通州區永樂店中學