導數中兩個或多個變量問題初探

陳新華

導數中兩個或多個變量問題是導數專題的一大難點，它不僅要求考生熟練掌握各知識，更要注重各知識間的滲透、交叉、綜合。同時又要有較強的推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力。它通常出現在選擇題或填空題的后兩道或是壓軸題。它是區(qū)分數學尖子生與非尖子生的一把標尺。那該如何突破？筆者在平時的教學中通過歸納，總結了一些主要且常見的題型讓學生比較，分析并通過相應的題型進行訓練收到比較好的效果。本文就導數中兩個或多個變量問題談三種解決方法。

1、最值法

例1已知，若使得，則實數m的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? 。

解析在[0，3]上單調遞增在[0，3]上單調遞增;。又g（x）在[1，2]上單調遞減，

所以，依題意得，只需滿足，即只需，則實數m的取值范圍是。

評注例1是帶有或這樣量詞的兩個變量，同時涉及到兩個不同函數之間的關系，如果兩個不同函數之間是不等關系，則他們的解題方案都是轉化為最大值或最小值之間的不等關系;如果兩個不同函數之間是等式關系，則它們的解題方案要轉化為兩個函數的值域之間的包含關系。

2、單調性法

例2已知且恒成立，則實數a的取值范圍是? ? ? ?。

解析由令

則在[1，2]上單調遞減，即在[1，2]上恒成立，

當x=1時，顯然恒成立，;當時，只需恒成立即可。

令則

當時，所以在（1，2]上單調遞減，則

，綜上實數a的取值范圍是

評注例2這種題型要注意和例1作比較，它是屬于同一個函數兩個變量的恒成立問題，其解題的切入點就是轉化為函數的單調性問題來求解。當自變量的大小關系與其對應函數的大小關系同號時就是單調遞增，異號就是遞減。再根據單調遞增函數等價于導函數值大于等于0;單調遞減函數等價于導函數值小于等于0就能快速求解。

3、換元法

例3已知若函數存在兩個零點證明。

解析

不妨設

將上式兩式分別相加相減后消去參數可得，所以要證明原不等式成立.只需證明成立，令，則即證成立，設則則g（t）在上單調遞增，即，所以原不等式成立。

評注例3有三個變量，首先要先消掉與所要求證的式子無關的變量，在分析剩余的兩個變量是否有主次之分，如果這兩個變量沒有主次之分就采用換元法，而換元時也要看式子的結構特征如有齊次結構就采用將兩個變量相除后再用一個參數替代達到消元;如有出現兩根之和及之積這種結構特征則采用整體替換的方法達到消元。

綜上所述，含有兩個或多個變量的導數問題對學生來說確實比較困難，這類題型的突破不是一朝一夕的，平時要加強訓練，而且要善于分析，所以教師在課堂教學中要適時的給以引導并歸納總結方法，這樣學生才能以不變應萬變最終解決這類難題。

參考文獻

[1]馮小明，棱錐外接球問題初探，福建中學數學，2018年（1）：43-44

[2]陳德燕，基于數學思想方法的導數問題求解策略分析，福建中學數學，2018年（5）：38-41