桿件彎矩圖在教學與工程上差異及快速繪制畫法

王磊

摘要：文章對材料力學經典教材中彎矩圖的畫法與實際工程的規定的差異進行分析，幫助初學者更好的理解現有結構分析軟件中的內力圖。同時根據學習經驗，提出了快速繪制彎矩圖的畫法。

關鍵詞：材料力學;彎矩圖;差異;結構力學求解器;畫法

0? 引言

拉壓、剪切、扭轉和彎曲是材料力學中的四種基本變形。相比而言，彎曲變形內容更加豐富，彎曲內力，特別是彎矩圖的繪制是學習中的重點，也是一大難點。但筆者發現材料力學經典教材中彎矩圖的畫法與實際工程規定（如土建行業）并不相同，比如清華大學所研發的結構力學求解器[1]。通過經典教材和行業規定及實際變形效果出發，分析兩者差異原因。其次對復雜的鋼架結構，筆者根據自身的學習體會，提出疊加處理和利用坐標方向來判斷受壓方向的技巧可以快速繪制彎矩圖。最后討論利用坐標方向的方法，存在不同走向對繪制的彎矩圖的影響，得出不同走向所繪制的彎矩圖相同的結論。進一步證實利用坐標方向來判斷受壓方向的合理性。

1? 外力符號的規定

材料力學教學中，結合剪力和彎矩的符號規定，直接來判定外力的符號：截面左側梁上向上作用的橫向外力或右側梁上向下作用的橫向外力在該截面上產生的剪力為正，反之產生的剪力為負;截面左側梁上的橫向外力（或外力偶）對截面形心的力矩為順時針轉向或截面右側梁上的橫向外力（或外力偶）對截面形心的力矩為逆時針轉向時，在該截面上產生的彎矩為正，反之產生負彎矩。即“外力左上右下，剪力為正;外力矩左順右逆，彎矩為正”。[2]（圖1）

土建行業規定：使微段產生左端向上而右端向下的相對錯動時，剪力為正;使微段的彎曲向下凸時，彎矩為正。

從這里我們可以看出。無論是土建行業還是材料力學教學，對桿件剪力和彎矩正負號的規定是相同的。但在彎矩圖的繪制規定上剛好相反。首先先看剪力圖的畫法，在定義好桿件坐標系后，正的剪力位于X軸上方，反之位于X軸下方，且是關于截面位置的函數Fs（x）。但彎矩圖恰恰相反，可以這樣理解：材料力學教學中彎矩圖為正時畫在梁軸線受壓一側，但按建筑工程的習慣，彎矩圖畫在梁軸線受拉一側。具體分析：橫坐標表示梁各截面的位置，縱坐標表示彎矩大小。正彎矩畫在X軸上方，負彎矩畫在X方軸下方，便畫在橫坐標正上方，實質就是畫在梁凹的那一面，即受壓的一側。

2? 荷載與剪力圖、彎矩圖的關系的差異

按建筑工程的習慣，彎矩圖畫在梁軸線受拉一側時，彎矩圖具體有哪些不同呢？首先我們必須指出其分布荷載、剪力、彎矩微分關系是不變的。

下面我們用表1說明。

通過表1可以清晰看出區別：

①在梁的某一段內，若分布載荷q（x）向上，則彎矩圖為向上凸的曲線（碗口朝下），這與材料力學中剛好相反，反之相同。

②當存在集中力時，其對彎矩圖的變化趨勢影響也相反。

這是當彎矩圖畫在受壓一側時，可以看出當存在集中力時（即中間支點獲集中載荷），對M圖是有“阻止”進一步增大的趨勢，即與彎矩圖“開口方向”相同。而由圖2發現其與“開口”相反。

③當彎矩圖形是斜直線，剪力圖為水平線。當彎矩（M）的圖形（＼），剪力為正值;當彎矩（M）的圖形（/），剪力為負值。這就沒有教學中彎矩圖上某點切線的斜率恰好等于該點相應截面上的剪力更容易記憶了。這可能是教學為便于理解而與實際工程差異的原因之一。

下面這個例子展示教學與實際軟件彎矩圖的差異。（圖3）

3? 快速繪制彎矩圖

3.1 基本依據[3]

利用荷載集度、剪力和彎矩之間的微分關系式（1）、式（2）（3）得到一些規律作圖。該方法根據這些量之間的微分關系來確定各段內力圖，本文重點在于彎矩圖大致趨勢的繪制。

3.2 繪圖方法

3.2.1 建立坐標軸確定鋼架受壓側[4]

教材規定，繪制彎矩圖時又給出了一個新規定：規定把彎矩圖畫在彎曲變形凹入的一側，亦即畫在受壓的一側。這讓很多初學者感到困惑，在水平桿部分，可以判斷出桿上方部分為受壓段，即彎矩為正時，應繪制在上部，但豎直桿部分，就難以判斷了，并不知道是豎直桿左側還是右側為受壓部分。因此筆者提出將整根桿看作水平桿，以左方自由端作為X軸起點，這樣便可效仿的水平桿，將正彎矩繪制在梁軸線上方，剛好符合繪制在受壓一側的規定。關于選擇不同走向對彎矩圖影響的談論，在下面會詳細述明。由上面方法，若以桿左端自由端點為X軸起點，則水平桿上部和豎直桿右部為彎矩正方向，繪制圖形如圖3（b）所示。

3.2.2 “右端分析法”

根據彎矩圖上某點切線的斜率等于該點相應截面上的剪力F（x），以及截面右側梁上的橫向外力（或外力偶） 對截面形心的力矩為逆時針轉向時彎矩為正的規律，就可以知曉彎矩的正負和趨勢，從而完成彎矩圖。這對桿件左側也是同樣適用的，只是桿件左側有時并不是自由端，還需進行額外的內力分析，較為麻煩。同時也需要指出，我們這里的桿件并不僅僅是直桿，大部分情況是曲桿。

3.2.3 鋼架疊加分析法

指的是在分析鋼架各段彎矩時，其他段對該段的影響可以當僅做對端點的作用，包括作用力和力矩，在每段分析時，依舊參照上述規律，存在分布載荷時，彎矩圖為拋物線;存在集中力時，彎矩圖存在“轉折”，最后將彎矩圖進行疊加。

3.2.4 最后討論將鋼架看做水平桿時，選取不同起點及受壓方向對最后繪制的彎矩圖的差異

如圖3（a）所示，當以A為水平桿左端，則AB桿上側，BC桿右側為Y軸正方向，即桿受壓一方，那如果以C結點為水平桿左端點，根據左手定則，此時AB桿下側，BC桿左側為Y軸正方向，那繪制的彎矩圖會有怎樣的不同呢？

答案是相同的。此時A端為截面的右側部分，對AB段任一截面分析，F產生的力矩為順時針，故截面剪力為正值，其產生的彎矩為負的，此時應繪制Y軸負方向，即桿件上方，沿BA彎矩依次增大，故和前面繪制的相同。

原因是剪力正負判斷與選取端點無關，無論左側還是右側，都是以橫向力或力矩產生對截面順時針彎矩為正，這保證了彎矩圖的走向不變;其次，彎矩方向的判別在左右兩側的規定剛好相反，這就使不同的選取角度得到的彎矩圖一致的根本原因。

這進一步證明將鋼架看做是水平桿來決定受壓側的合理性。

4? 結語

了解和掌握材料力學彎矩圖的繪制依據和規定，并熟練掌握彎矩圖繪制的技巧，便可結合當下各種結構分析軟件，快速分析各種靜定梁（包括鋼架）的內力分布，為后續應力及變形分析奠定堅實基礎。

參考文獻：

[1]袁駟，葉康生，袁征.《結構力學求解器》的算法與性能——第十屆全國結構工程學術會議特邀報告[C].中國力學學會.第十屆全國結構工程學術會議論文集第Ⅰ卷.中國力學學會：中國力學學會，2001：197-204.

[2]肖建清.材料力學彎曲內力的教學思考[J].職業教育（下旬刊），2015（02）：93-96.

[3]張春玲.基于桿件內力分布規律速繪剛架剪力、軸力圖[J].黑龍江生態工程職業學院學報，2013，26（06）：20-21.

[4]田燕萍.材料力學彎矩圖畫法中值得商榷的問題[J].科技創新與應用，2014（35）：32.