基于“問題導學”的高三一輪復習課

摘 要：如何上好高三數(shù)學復習課成為眾多高三一線教師最為關注的問題。本文，筆者在經(jīng)過一年多的學習《“問題導學”教學法》之后，結合2019年3月2、3日在南寧市第三中學舉行的《關于舉辦普通高中“學科核心素養(yǎng)評價技術實踐研修班”》活動中聽了云南師大附中白濤老師上的兩節(jié)高三復習課，我受益匪淺，對我的觸動很大。筆者就以高三一輪復習課《橢圓的概念》教學為例，闡述高中數(shù)學“問題導學”指導下進行的高三復習課的教學設計，并在實踐中進行總結反思、提升自我。

關鍵詞：問題導學;高三復習;圓錐曲線

當前，高中的數(shù)學教學課堂改革，各地都進行得轟轟烈烈、各式各樣，很難用一個統(tǒng)一的尺度去加以評價。但筆者通過自己的親身體驗，認為我校黃河清校長的《“問題導學”教學法》對我的觸動最大、感觸最深。兩千多年前偉大教育家孔子提出了與當今素質(zhì)教育原則相對應的“啟發(fā)式”教學中就已經(jīng)就有“詰問”的啟發(fā)方式。即課堂教學中如何設置問題？才具有針對性。《“問題導學”教學法》一書中指出，數(shù)學復習課堂教學模式是將教學過程結構分為四個環(huán)節(jié)：知識回顧—自主構建—應用探索—總結歸納。

2019年1月3日在南寧三中青山校區(qū)聽了數(shù)學特級教師黎承忠老師和1月11日在南寧三中五象校區(qū)聽了韋艷君老師上的《參數(shù)方程》——章節(jié)復習課。課后，黃校長在點評中也指出：復習課的關鍵是要處理好兩個基本問題：知識回顧與知識聯(lián)系。知識回顧：這一環(huán)節(jié)注重解決一下三個方面的問題：

（1）問題設置。根據(jù)高中數(shù)學“問題導學”教學法的關聯(lián)性原則，問題的提出要有啟發(fā)學生進行“回顧”。

（2）能激發(fā)學生展開聯(lián)想、類比、總結。

（3）能引導學生學會聯(lián)系、整合。

下面筆者以高三第一輪復習《橢圓概念》的為例進行分析，不妥之處，請各位同仁多多包涵。

一、回顧知識

（一）加深對橢圓概念本質(zhì)屬性的理解

問題1：我們的教材是如何給橢圓下定義的？你能否分別用文字語言、數(shù)學語言和圖形語言表示出來？

設計意圖：回顧橢圓定義，強化本質(zhì)特征，掌握不同語言的相互轉(zhuǎn)換。

問題2：定義中為何要規(guī)定？如果點的軌跡又是什么？人教A版《數(shù)學》（選修2—1）第49頁習題2.2A組第1題：如果點M（x，y）在運動過程中，總是滿足關系式，點M的軌跡是什么曲線？為什么？寫出它的方程。

（二）整合提煉橢圓概念的形成方式，形成知識體系

問題3：橢圓除了這樣下定義以外，是否還有其他的方式可以生成橢圓呢？從我們教材中是否可以找到答案？

設計意圖：引導學生學會思考、學會探索深，讓學生對橢圓這一核心概念進行第二次學習，深刻領悟橢圓這一核心概念，更深層次地梳理教材、整合教材，完成知識結構體系的系統(tǒng)化和知識與方法體系的網(wǎng)絡化。

二、自主建構

“自主建構”這一環(huán)節(jié)是高三一輪復習階段的重點，對學生掌握知識之間的聯(lián)系及知識系統(tǒng)化的要求與上新課的要求是有區(qū)別的。因此，這一環(huán)節(jié)上應該重點圍繞知識的“聯(lián)系”、“變化”這兩個關鍵詞來展開。

（一）生成橢圓的方法之一：由圓的變換而得到

人教A版《數(shù)學》（選修2—1）第41頁例2：如圖1，在圓上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足。當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？

人教A版《數(shù)學》（選修2—1）第50頁習題2.2B組第1題：如圖2，軸，點M在DP的延長線上，且，當點P在圓上運動時，求點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀。

問題4：類比上述例2，你是否有新的發(fā)現(xiàn)？

教材第41頁有個“思考”：從例2你發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關系嗎？

設計意圖：通過以上探究，可以讓學生知道，圓按某一個方向做伸縮變換可以得到橢圓。此結構形式的考點在2011年高考數(shù)學陜西卷理科第17題已經(jīng)呈現(xiàn)

拓展應用1：

例1：（2011年陜西卷理科）如圖5：如圖，設P是圓x2+y2=25上的動點，點D是P在x軸上的攝影，M為PD上一點，且

（Ⅰ）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程;

（Ⅱ）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長度

（二）生成橢圓的方法之二：一個動點到兩個定點連線的斜率之積是一個負常數(shù)

人教A版《數(shù)學》（選修2—1）第41頁例3：如圖3，設點A、B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM、BM相較于點M，且它們的斜率之積是，求點M的軌跡方程。

此題是已知斜率之積求動點M的軌跡，若將軌跡方程與橢圓標準方程比較，那么反過來，已知橢圓方程，試問其上任一點M與點A、B連線的斜率之積k是否是一個負常數(shù)？k與a、b又有什么關系？由此得以提煉兩個重要的一般性結論，也是橢圓的有一種生成方式：一個動點M與兩個定點A（-a，0），B（a，o）所連直線的斜率之積是，即滿足則動點M的軌跡是橢圓。

還可以得出下面的結論，反之亦成立，即：A、B為橢圓長軸的兩個端點，M為橢圓上（除A、B外）任一點，則。在類比人教A版《數(shù)學》（選修2—1）第55頁的“探究”：如圖4，點A、B的坐標分別為（-5，0）（5，0），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積是，求點M的軌跡方程，并且點M的軌跡方程判斷軌跡的形狀。類比于例3，我們還可以有什么新發(fā)現(xiàn)呢？

高三一輪復習，重點是如果引導學生學會聯(lián)系知識、學會思考。通過上述一系列的探究之后，還不應該就此停下來，還可以進一步跟學生一起做如下探索：如果將上述斜率之積改為斜率之商、斜率之和、斜率之差，動點M的軌跡又是什么？這在人教版教材中都有習題呈現(xiàn)（此處不贅述）。此類結構形式的考點在高考試題中出現(xiàn)的頻率較高。如2012年高考數(shù)學天津卷理科第19題，2012年高考數(shù)學四川卷文、理第21題。再比如2013年高考數(shù)學全國大綱卷理科第8題，如下例2：

拓展應用2：

例2：（2013年理科大綱版數(shù)學）橢圓的左、右頂點分別為A1，A2，點P在C上且直線PA2的斜率的取值范圍是[-2，1]，那么直線PA斜率的取值范圍是 （ ）

（三）生成橢圓的方法之三：從圓的軌跡中來

人教A版教材《數(shù)學》（選修2—1）第49頁第7題：如圖5，圓的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線L和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

問題5：教材中還有與此題相類似的題嗎？（雙曲線的簡單幾何性質(zhì)習題2.3A組第62頁第5題（題目略）

（四）生成橢圓的方法之四：從圓的內(nèi)切和外切的動態(tài)過程中來

（人教A版教材《數(shù)學》選修2—1題2.2B組第50頁第2題，由于篇幅有限，筆者在此不再展開），關于這種方式生成的橢圓，在高考試題中也有出現(xiàn)過，如：（2011廣東理19）：設圓C與兩圓中的一個內(nèi)切，另一個外切。

（1）求C的圓心軌跡L的方程;

（2）（略）

（五）生成橢圓的方法之四：與距離有關的點的軌跡

（人教A版教材《數(shù)學》選修2—1第47頁，例6本例可以歸納出雙曲線的第二定義及橢圓的焦半徑公式。

三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義

在高三一輪復習中，對橢圓這一核心概念，要強調(diào)學生“回歸課本”、“回歸基礎”，對整個圓錐曲線的概念形成一個網(wǎng)絡結構圖，有一個由局部到整體、由點到面的整體形象的認知。由此引導學生類比人教A版《數(shù)學2-1》（選修）第59頁例5、第62頁B組第3題、第75頁“閱讀與思考”的“圓錐曲線的離心率與統(tǒng)一方程”，進行綜合對比發(fā)現(xiàn)它們的共同點與區(qū)別，進而歸納、提煉、整合出圓錐曲線的統(tǒng)一定義一：“平面上到一個定點F的距離和它到一條定直線距離之比是一個常數(shù)e的點的軌跡是圓錐曲線（定點F不在定直線上），即”其中，點F是它的焦點，直線是相應于點F的準線，比值e是它的離心率”這里，當時，定的軌跡是橢圓;當時，點的軌跡是雙曲線;當時，點的軌跡是拋物線。

高中數(shù)學“問題導學”教學法復習課堂教學模式中，就特別強調(diào)要關注既要加強基礎、提高能力、發(fā)展智力，又要有針對性的面對學生“惑”的問題;也指出了高三復習課不是“簡單重復”，要注重設計高水平的思維訓練活動。因此需要教師在高三一輪復習教學過程中，調(diào)動學生的學習熱情、激發(fā)學生思考，學會探索，自主形成一套復習的抓手。教師再提煉、總結、歸納，做好學生“回歸課本、回歸基礎”的榜樣，而不是總說在嘴上，既能忠實于教材、把握教材，又能激活教材、挖掘教材、調(diào)適教材、駕馭教材與整合教材，更有助于教學的“動態(tài)生成”，并對教材進行適當?shù)母木幒椭匦陆嫞⒅刂R的聯(lián)系，形成有效鋪墊。真實體現(xiàn)教材為我所用、為生服務的理念，真正讓研讀教材、課堂執(zhí)行做到扎實有效，讓課堂教學真正走向有效課堂和高校課堂。

參考文獻

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[2]段小龍，謝玉平.用好用活教材提高復習教學質(zhì)量[J].數(shù)學通訊，2014（06）：47-51.

[3]段小龍，謝玉平.高中數(shù)學教材章引言課教學初探[J].中學數(shù)學教學參考，2017（10）：10-12.

[4]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）【M】.北京：人民教育出版社，2003.

作者簡介：藍日更（1983.9-），男，瑤族，廣西省南寧市馬山縣人，大學本科，中學一級，研究方向：高中數(shù)學教學