“微元法” 巧解兩道2013高考物理壓軸題

馬力力

(華北油田第五中學 河北 廊坊 065007)

在處理物理問題時，從對事物的極小部分(微元)的分析入手，達到解決事物整體問題的方法，叫作微元法．微元法在近幾年物理高考中嶄露頭角，體現出它獨特的解題魅力，并逐漸為廣大高中教師所重視．2013年高考全國理綜新課標卷Ⅰ與高考天津卷的壓軸題，都運用了微元思想．

筆者以這兩道題為例，剖析微元法之妙用，以期讓高中生在思維上拓展更廣闊的空間，也希望廣大教師注重課堂上進行物理科學方法的培養．

1 高考試題例析

運用動量定理“微元法”求解2013年高考全國理綜新課標卷Ⅰ第25題．

圖1

【例1】如圖1，兩條平行導軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L．導軌上端接有一平行板電容器，電容為C．導軌處于勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向垂直于導軌平面．在導軌上放置一質量為m的金屬棒，棒可沿導軌下滑，且在下滑過程中保持與導軌垂直并良好接觸．已知金屬棒與導軌之間的動摩擦因數為μ，重力加速度大小為g．忽略所有電阻．讓金屬棒從導軌上端由靜止開始下滑，求:

(1)電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系；

(2)金屬棒的速度大小隨時間變化的關系．

解析：(1) 設金屬棒下滑的速度大小為v,則感應電動勢為

E=BLv

平行板電容器兩極板之間的電勢差為

U=E

設此時電容器極板上積累的電荷量為Q，按定義有

聯立得

Q=CBLv

在時間間隔(t，t+Δt)內，由動量定理得

FΔt=mΔv

所以

(mgsinθ-μmgcosθ-Bil)Δt=mΔv

∑(mgsinθ-μmgcosθ-Bil)Δt=∑mΔv

設在時間間隔(t，t+Δt)內流經金屬棒的電荷量為ΔQ，則

則

mgtsinθ-μmgtcosθ-B2l2Cv=mv

為所求．

2 如何在教學中滲透“微元法”

2.1 新課教學提高認知 滲透微元思想

微元法既是一種深刻的思想方法，又是解決問題的巧妙操作方法，它以物理學的力、電、熱、光等領域為載體，以近似、對稱、等效、數列、極限、積分、歸納等多種數學方法為手段，實現化曲為直、化變為恒、化繁為簡，于微元法中解決變量物理問題的目的．

微元法思想在新課標教材(人教版)中多次出現，《物理·必修1》第一章就有所滲透．在引入瞬時速度概念時，教材提出從t到t+Δt這段時間間隔內，Δt越小運動的描述就越精確．當Δt趨向于零時，Δt的平均速度就認為是t時刻的瞬時速度．這也是數學中的微分思想．教師在教學時應以此為契機，提出Δt就是選取的“微元”，先將瞬時速度變化問題轉化為平均速度變化問題，再利用數學微分知識，將平均速度問題轉化為瞬時速度問題．又如，再講變力做功圖像法時，F-x圖像為一條不規則曲線，計算可以將位移分成許多很短的間隔Δx，由于每一段Δx都很小，就可以將每一段位移對應的力F近似地看成恒力，這樣就能利用功的定義式計算出每一小段內外力的功，再累加得到整個過程變力所做的總功，即為圖線與橫軸所圍成的面積．其中Δx為所取的“微元”，將變力做功轉化為恒力做功，再利用數學中的積分思想由圖像面積求出變力做功．

在推導勻變速直線運動的位移公式；“彈性勢能”中求彈簧彈力做功；安培分子環形電流假說；由洛倫茲力推導安培力公式等教學中，都可以滲透“微元法”思想．教師應該充分利用教材中資源，抓住每個契機，提高學生認知，在潛移默化中讓學生順理成章，自然地接受這種科學方法．

2.2 復習課中精選習題 總結微元法解題技巧

任何一種科學方法的運用都離不開習題，教師在復習課中，要善于精選習題，精講精練，并根據習題特點指導學生自己總結微元法的解題技巧．提高學生敏銳的觀察力、選擇正確方法的判斷力和迅速解題的數學能力．微元法處理問題的主要環節一般為兩點：一是取“微元”，即對整體對象做無限分割，分割的對象可以是各種幾何體或各種物理量，從而得到選取的“元”．如線元、角元、面積元、質量元、時間元、位移元、功元、電流元等等，它們均具有整體對象的基本特征；二是對微元進行數學方法(如微分、積分、數列等)、物理思想(如牛頓定律、動量定理、動能定理等)處理．即從事物的極小部分(微元)分析入手，達到解決事物整體問題的目的．

下面以2013年高考天津理綜卷第12題壓軸題為例，說明微元法的運用．

【例2】超導現象是20世紀人類重大發現之一，目前我國己研制出世界傳輸電流最大的高溫超導電纜并成功示范運行．(1)略．

(2)為探究該圓環在超導狀態的電阻率上限ρ，研究人員測得撤去磁場后環中電流為I,并經一年以上的時間t未檢測出電流變化．實際上儀器只能檢測出大于ΔI的電流變化，其中ΔI?I，當電流的變化小于ΔI時，儀器檢測不出電流的變化，研究人員便認為電流沒有變化．設環的橫截面積為S，環中定向移動電子的平均速率為v，電子質量為m,電荷量為e．試用上述給出的各物理量，推導出ρ的表達式．

解析：原題標準答案運用能量守恒求解(略)．這里改用動能定理微元法．

當定向移動電子的平均速度發生變化就會引起環中電流變化．電流變化大小為ΔI，相應定向移動電子的平均速率變化的大小為Δv,則ΔI=neSΔv取一小段時間Δt(選取適當的微元)，則在時間間隔(t，t+Δt)內，由動能定理(采用恰當的物理思想)，得

W電=ΔEk

忽略高階小量(數學處理方法)，其中

則

∑I2RΔt=∑MvΔv(運用數學積分思想)

得

為所求．

顯而易見，微元法的精妙之處也是它的難點所在．其一，判斷習題是否適用微元法就是一個難點；其二，微元的選擇是否恰當將直接影響解決問題的成敗．取微元，對整體對象做無限分割是微元法的靈魂所在，微元對象必須既有整體事物的本質特征，又能派生作為無窮小量所能發揮的特別功能；其三，微元的處理過程對學生的物理思維和數學功底要求更高．這也是微元法區別其他普通物理方法的顯著特點、精彩之處．

2.3 思想上予以重視 突出培養學生科學方法創新思維

其實高考物理試題出現微元法的應用并不陌生，江蘇省2006年到2009年這4年來高考物理卷中的最后一題，都與電磁感應知識點相關，在標準答案中，都是用微元法求解．然而目前微元法往往只在奧賽教學中講解，一般普通高中并不講或者僅僅是點到為止．所以大部分高中生遇到這類問題都束手無策，對待這類高考壓軸題都采取放棄策略．高中教師不愿意花時間講解微元法主要原因是這種方法對學生的物理能力、數學能力要求相對較高，大部分高中生接受起來感到困難,效果不好．

如今高考壓軸題的分值往往在20分左右，其目的既能考查學生的物理能力，也有利于重點院校選拔人才，是區分普通優秀生與最優秀生的主要題目．針對重點院校或者能力較強的優等生，教師不僅僅是在高三復習中講解高考試題滲透微元法教學，更重要的是教師要從思想上予以重視，充分利用教材所提供的素材,在平常的教學中突出各種科學方法的滲透，重視開展學生的各種探究活動、實踐活動,啟迪學生的創新思維，培養學生的綜合能力．特別是要重視運用數學知識與物理思想相結合，解決實際問題的能力．讓學生體會“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的喜悅，為我國重點大學院校輸送新時代優秀人才．