以問題為誘導，培養學生數學素養

王家強

數學解題教學中，如何培養學生數學素養？筆者以為以一個或幾個典型問題展開教學，可以達到“舉一反三，一點帶面，全面發展”的效果。筆者在人教版必修五的第三章《數列》教學中，有關數列通項公式的求法進行專門介紹。講授的內容立足于考綱，結合學情，決定采集的例題來自于課本內例習題或者高考題，不求面面俱到，但求重點突出，難點突破，注意在課堂上激發學生興趣，積極思考，敢于發言。現把這堂課教學內容摘錄如下：

師：在解決數列問題中，求通項公式往往是其中最為關鍵一步。這節課我們來學習常見求通項的方法

一、觀察歸納法

例1、 寫出下面數列的一個通項公式，使它的前四項分別是下列各數：

分析：（1）是個擺動數列，是符號函數，學生很容易寫出 ;但也有些同學用三角函數式表示： ，用分段表示： ，

老師總結：本題答案竟然有這么多！其中，哪一個答案最簡潔？顯然是 。通過這一題，它告訴我們這么一個事實：數列的通項公式有時不是唯一的。學生聽完了新奇，頓時興趣盎然！也對后面問題躍躍欲試……課堂氣氛也就被調動起來！

師：請看變式題：寫出數列 ……的通項公式。（答案略）

（2）分析：

老師歸納：通過觀察數列特征，找出各項共同的構成規律，橫向看各項之間的關系，縱向看各項與項數n的內在聯系，從而歸納出數列的通項公式，這種方法叫做觀察歸納法。

感悟：一題多解，激發學生興趣，開拓學生視野，培養學生發散思維，形成良好的數學素養！

二、利用公式 求

例2、已知數列 的前n項和 ，求這個數列的通項公式。

例3已知數列 的前n項和 ，求這個數列的通項公式。

例4、已知數列 的前n項和是 ，且 ，求數列 的通項公式 。

歸納：利用公式 求 有“三步走”：

（1） 當 時， =……

（2） 當 時， ，是否適合上式

（3） 綜上，若適合，則用 表示;若不適合，則分段表示 。

三、構造法求通項

例5、已知數列 中， .求證： 是等比數列;（2）求通項公式 。

例6、已知數列 中， .求證： 是等差數列;（2）求通項公式 。

例7、已知數列 中， .求證： 是等差數列;（2）求通項公式 .

歸納：通過本題復習深化化等比數列、等差數列的概念理解及其運用于證明等差等比數列，學會轉化思想——通過構造等比數列 ，等差數列 ， ，進一步求出通項公式 。

在這個過程中，我們應該透過遞推公式結構特點，采取相應措施構造特殊數列——等差或等比數列：

①待定系數法構造等比數列：遞推關系是 ，可以變形為

②倒數法構造等差數列：遞推關系是 ，可以變形為

③除法構造等差數列：兩邊同時除 ，得 ，得到 是等差數列

四、用累加法或累乘法求通項公式

例8、已知數列 中， ，求通項公式 ;

例9、已知數列 中， ，求通項公式 ;

歸納：（1）對于由形如 型的遞推公式用累加法求通項公式 ;

（1） 對于由形如 型的遞推公式用累乘法求通項公式 。

結束語：本節課主要從五個方面去探究數列通項的求法。在探究過程中，學生積極思考，敢于發言，敢于表現，營造良好的課堂氛圍，大大地提高了教學效果，也很好地讓學生形成良好的數學素養。