淺談條件極值與拉格朗日乘子法

劉書新

摘 要：拉格朗日乘子法是求解條件極值問題常用的方法，但是乘子的含義并不容易理解。本文利用變分分析的知識結合廣義費馬定理推導條件極值的必要條件，對拉格朗日乘子法給出解釋，同時給出了通用教材中兩個常見的應用實例。

關鍵詞：條件極值;拉格朗日乘子法;費馬原理

中圖分類號：O17-4;G642 文獻標識碼：A 文章編號：2095-9052（2020）03-0182-02

求帶有約束條件的最值問題即條件極值是在實際應用中經常碰到的一類問題，比如它在經濟學、機械加工、金融工程等中就有廣泛應用。條件極值更是高等數學和數學分析中的一類重要問題。求解的常用方法和最有效的工具就是拉格朗日乘子法。

1 條件極值必要條件的變分分析證明

考慮下面的條件極值問題：

（1）

其中.在高等數學[1]與數學分析[2]的教學中常用的求解方法是構造拉格朗日函數

問題（1） 的解滿足它的駐點方程

再根據問題的實際意義可以確定駐點是否是最小值點，這里符號表示函數的梯度。

我們先用隱函數定理來討論問題（1）解的必要條件。簡單起見，令和， 假設是問題（1）的最小值點。和在點的某鄰域內是連續可微的二元函數，且.由隱函數定理，在點附近可以唯一確定一個連續可微的顯函數，將代入，可得.注意到

結合，可知

，

記，可得極小值點滿足下面的方程

上式的第一個式子是函數關于變量的梯度，所以引入輔助函數，利用它的駐點方程來求解問題（1）。從上面的討論我們可以得到乘子含義的一些理解，但是并沒有很明確的幾何意義。

下面我們利用變分分析的知識結合費馬原理推導拉格朗日函數的駐點方程。首先給出下面的定義和引理：

定義1 集合上的指示函數（Indicator Function），記為，定義為

約定與.t指示函數是定義在上的函數，表示其中有哪些元素屬于的子集.

定義2 若函數是利普希茨連續函數，則在點的Clark次微分定義為

，

這里是Clark廣義方向導數.

引理1[1] ?（廣義費馬定理） 若利普希茨連續函數在點取得最小值，則

.

引理2[2] ?若函數是利普希茨連續函數，則

這里是任意常數.

引理3[3] 若是連續可微函數且， 則

其中為閉凸集.

定理1設點為問題（1）的最小值點，函數和在點連續可微且，則滿足下面的方程

證明 ?通過指示函數，問題（1）可以等價的表示為

，這里.

容易看出是利普希茨連續函數，由引理1，問題（1）的最小值點滿足下面的條件

再由引理2可得

又，結合引理3有

因為當時，有， 所以存在，使得 ，且證畢。

從上面的證明過程可以看出，乘子是指示函數的廣義梯度，拉格朗日函數的駐點方程可以由廣義的費馬定理導出，而可微函數的極值點一定是駐點，這樣就可以把條件極值的必要條件和函數的極值條件統一用費馬定理來解釋，在教學的過程中學生更容易理解。

2 應用舉例

例 1 ?要做一個開口長方體水箱，體積為，長、寬、高分別取多長才能使用料最??？

解：設分別為水箱的長、寬、高，那么要使水箱表面積最小等價與下面的問題

構造拉格朗日函數

，

解方程組

得唯一駐點.

由于合理的設計是存在的，所以當長、寬為，高為時用料最省.

給出以下兩個思考：

1.當水箱是封閉的時，長、寬、高分別取多長才能使用料最??？

2.開口長方體水箱的側面造價是底部造價的一半時，長、寬、高分別取多長才能使用料最省？

例 2 求平面與旋轉拋物面之間的最短距離.

解：設為拋物面上任意一點， 則到平面的距離為

則問題等價的轉化為

令， 則

解上面的方程組的唯一駐點.

由于問題的最短距離是一定存在的，而我們求得的駐點又是唯一的，所以最短距離在點處取得，簡單計算得到最短距離為.

3 結語

本文給出了條件極值必要條件的變分分析的證明方法，使得拉格朗日乘子法更容易基于費馬定理角度去理解，并能夠和無條件極值統一起來理解，幾何意義直觀。特別需要注意的是本文的必要條件只是條件極值問題的駐點條件，在應用時還要對駐點是不是最值點做出判斷。在文章最后舉了兩個拉格朗日法的應用實例，因為通用的高等數學教材只討論等式約束的情況，所以本文討論條件極值的約束條件時沒有考慮不等式約束的情況。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學下冊[M].北京：高教出版社，2014：60-70.

[2]張立衛，吳佳，張藝.變分分析與優化[M].北京：科學出版社，2013：113-117.

[3]陳紀修，於崇華，金路.數學分析下冊[M].北京：高教出版社，2010：206-215.

（責任編輯：李凌峰）