二重積分概念的建模教學法

陳文平 蔣利華

摘 要：二重積分的概念及其應用是積分學的重要內容，教學過程中教會學生如何運用所學知識去解決實際問題。在概念教學中不妨使用建模教學法，把數學與解決實際問題緊密結合起來，既培養了學生的教學修養，又提高了學生應用數學的能力。本文以二重積分為例，通過數學建模的方法講解，讓學生看到了概念來源于實際的過程，又讓學生感受到方法解決具體問題的妙處。

關鍵詞：建模教學法;二重積分概念

中圖分類號：G423;O172.2 文獻標識碼：A 文章編號：2095-9052（2020）03-0180-02

大多數的數學概念都是從具體實際問題中引入的，如定積分概念是為了解決曲邊梯形的面積和解決變速直線運動的路程問題而引出的[1-4]。同樣，二重積分的概念也是為了解決一個具體的幾何問題——曲頂柱體體積和一個實際物理問題——質量不均勻的平面薄板的質量問題而引入的。用基礎的數學知識去解決實際問題是數學建模的思想，通過建模教學可以培養學生利用數學知識去解決實際問題的思想和方法，從而培養學生的建模能力和創新能力，也有利于學生對一些基本概念的深入理解。在概念教學中不妨使用建模教學法，把數學與實際問題緊密結合起來，既能培養學生的教學素養，又能提高學生應用數學的能力。下面就以二重積分為例，通過數學建模的方法講解，讓學生看到概念來源于實際的過程，并讓學生感受到數學知識解決具體問題的妙處，從而激發學生學習數學和應用數學的興趣。

1 實際問題的引入

（見圖1）

問題1的建模過程：

為了解決上面具體的幾何問題，可把問題進行簡化，也就是說如果這是一個平頂柱體，那它的體積很簡單，就應該為底面積乘以高，但是這是一個以曲面為曲頂的曲頂柱體，顯然這個體積沒有公式可套，因為頂是曲面構成的。新的概念總是建立在已知概念的基礎之上的，也就是說可以把這個曲頂柱體和平頂柱體聯系起來，而后利用平頂柱體求體積的方法加以解決，從而再利用公式進行計算。但是又該如何利用這種轉化呢，可回想一下定積分概念的提出，它是通過解決具體的幾何問題——曲邊梯形面積，通過分割，近似，求和，取極限的建模思想而得出的。為此也可用同樣的建模思想解決這種轉化問題，進而可得出以下轉化方法。

（1）把平面區域D任意分割成n份：，并用記每一小塊區域的面積。

（2）在區域中任取一點，把以為底的小曲頂柱體體積用以為高，底面積為的小平頂柱體體積來近似：

（3）要求的是整個曲頂柱體體積，故把所有的小曲頂柱體體積加起來就得到所求曲頂柱體體積，這就是所有小平頂柱 體 體積和的近似：

（4）當區域的分割無限增加時，且的最大直徑（的直徑）趨于零時，如果上式特定形式和的極限是存在的，則曲頂柱體體積可以表示為：

問題2的建模過程：

為了解決問題2，這是一個具體實際的物理問題[5-7]，同樣可以把問題進行簡化，也就是如果這是一塊均勻的薄板，那它的質量應該就為面密度乘以它的面積，但這是一個面密度因位置不同而不同的薄板，顯然這個質量一樣沒有公式可套。新的概念總是建立在已知概念的基礎之上的，也就是說可以把這個不均勻的薄板和均勻薄板聯系起來，而后利用均勻薄板質量求法來加以解決，從而可以利用公式。但如何利用這種轉化呢？結合定積分求解變速直線運動路程的建模思想，即可得出以下轉化方法。

（1）把平面區域D任意分割成n份：，并用記每一小塊區域的面積。

（2）在區域中任取一點，把這一小塊平面薄板用面密度為，面積為的均勻薄板的質量來近似：

（3）把所有的小塊薄板質量加起來就得到所求薄板質量的近似：

（4）當區域無限分割時，且的最大直徑（的直徑）趨于零時，特定形式和的極限如果存在，則平面薄板的質量就可以表示為：

2 問題的解決

以上兩個問題一個是幾何問題，另一個是物理問題，雖然問題不同，但是問題的解決思路一樣，都是利用建模思想得到特定形式和的極限，其本質上具有一致性，把這個特定形式和的極限抽象出來得到二重積分的概念，記作：。

現在有了二重積分的概念以后，再反過來看上面兩個問題。對問題1，由二重積分的概念和幾何意義，不難求得（圖1）表示的曲頂柱體體積為：。對問題2，由二重積分的概念和幾何意義，不難求得（圖2）表示的平面薄板的質量為：。

3 概念的應用

利用建模教學法解決了二重積分概念的提出，進一步利用這一概念來解決具體的幾何和物理問題。

例1：求由所圍成的空間立體的體積。

解：由二重積分的建模概念引入以及幾何意義可知

所求立體體積相當于以為曲頂，在xoy面投影區域D為底的曲頂柱體的體積，

故所求體積為：。

例2：有一塊如下圖形狀的平面薄板，其面密度函數為平面上的點到原點距離的平方，求這個薄板的質量。

解：由已知可得薄板的面密度為，由二重積分的概念引入和物理應用可知，所求平面薄板的質量為：

參考文獻：

[1]郭新.定積分概念的建模教學法[J].佳木斯教育學院學報，2014（3）：224-225.

[2]華東師范大學數學系編.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2000.

[3]朱曉寧.數學建模融入定積分概念教學中的應用模型[J].太原城市職業技術學院學報，2014（7）：107-109.

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[5]周宗好.宋汩，定積分概念教學中的幾個重要例題探析[J].黃山學院學報，2014（3）：114-116.

[6]李盈科，德娜·吐熱汗，葛清.從一道物理問題及其變形到幾類積分概念的建立模型[J].赤峰學院學報（自然科學版），2016（2）：7-9.

[7]徐龍封.定積分教學中必須重視的幾個關鍵問題[J].安徽工業大學學報，2004（6）：122-133.

（責任編輯：李凌峰）