2009年高考試卷(理數(shù))中一道試題的新解法

在2009年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試全國卷Ⅱ理工類試題中，有一道立體幾何題，我認(rèn)為:除了標(biāo)準(zhǔn)答案中提供的兩種解法外，還有一種通俗易懂，學(xué)生易于接受的解法。

現(xiàn)摘錄此高考題如下:如圖，直三棱柱ABC-ABC中，AB⊥AC，D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE⊥平面BCC。

(Ⅰ)證明:AB=AC。

(Ⅱ)設(shè)二面角A-BD-C為60°，求BC與平面BCD所成的角的大小。

證明:(Ⅰ)如下圖:取BC的中點(diǎn)F，連接AF，EF。

∵E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，

∴EF∥BB，且EF=BB。

∵BB∥AA，且AA⊥底面ABC，D是AA的中點(diǎn)。

∴EF∥DA，EF=DA，

∴四邊形DAFE是矩形，

∴AF∥DE。

∵DE⊥平面BCC，

∴AF⊥平面BCC。

∵BC?奐平面BCC，

∴AF⊥BC。

∵F是BC的中點(diǎn)，

∴AB=AC。

(Ⅱ)∵D是AA的中點(diǎn)，由(Ⅰ)知AB=AC，DA⊥AB，DA⊥AC，

∴BD=DC。

設(shè)DA=m，AB=x，

則AC=x，AB⊥AC，

∴BC=x。

由(Ⅰ)知AF⊥BC。

∴由等面積法求得AF=x。

在Rt△ABD中，BD=，

∴DC=。

在△BCD中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，BC=x，

∴CF=x，

∴DF==。

∵二面角A—BD—C的大小為60°，

∴cos60°==(射影面積法)，

解得x=m，即DA=m。

在Rt△ABC中，AB=AC=m，

∴AF=m，

∴矩形DEFA是正方形。

連接DF、EA，相交于O點(diǎn)。

則OE⊥DF。

由(Ⅰ)知AF⊥BC，

∵EF⊥BC，

∴BC⊥平面EFAD。

又EO?奐平面EFAD，

∴EO⊥BC。

又EO⊥DF，

∵BC∩DF=F，

∴EO⊥平面BCD。

連接CO，則∠ECO就是BC與平面BCD所成的角。

在Rt△EOC中，EO=EA=m，CE=BC=m，

∴sin∠EOC==，

∴∠ECO=30°

即BC與平面BCD所成的角為30°。

我認(rèn)為:找二面角的平面角對(duì)學(xué)生來說是難點(diǎn)，上解無疑降低了本題的難度，同時(shí)也體現(xiàn)射影面積法在求二面角時(shí)的優(yōu)越性。