比根號2更“無理”的數

不是代數數的實數統統被稱為“超越數”（tran-scendentM number），它不滿足于任何一個整系數多項式方程。超越數無疑是更“無理”的數，但是否存在這樣的數？這個問題在數學史上早有爭論。1844年，法國數學家柳維爾（Joseph Liouville）構造了第一個超越數——柳維爾數（Liouville number）。這個數是0.110001000000000000000001…，其中小數點后面第1，2，6，24，120，…位是1，其余位都是0.柳維爾證明了這個數是一個超越數，它不滿足于任何整系數多項式方程。

1873年，法國數學家夏爾·埃爾米特（Charles Her。mite）證明了自然底數e是一個超越數。1882年，德國數學家林德曼（Ferdinand yon Lindemann）證明了圓周率π是一個超越數。

但是，人們對超越數的了解還是太少。數學家們

胛至今仍然不知道，π+e、π-e、π·e、π/e是否也是超越數。雖然如此，大家還是普遍相信它們都是超越數，畢竟它們不大可能恰好滿足一個各項系數都是整數的多項式方程。

可計算數與不可計算數

我們把圓周率的小數展開，看上去似乎是完全隨機的，但還是有辦法算出來的。如果你想知道1T的小數點后第一億位是多少，我們總能在有限的時間里算出答案來。

1975年，計算機科學家格里高里·蔡廷（GregoryChaitin）研究了一個很有趣的問題：在任意指定的一種編程語言中，隨機輸入一段代碼，這段代碼能成功運行并且會在有限時間里終止（不會無限運行下去）的概率是多大。他把這個概率值命名為“蔡廷常數”（Chaitin's constant）。

這個問題聽起來有點不可思議，但事實上確實如此——蔡廷常數是一個不可計算數（uncomputablenumber）。也就是說，雖然蔡廷常數是一個確定的數字，但現已在理論上證明了，你是永遠無法求出它來的。

可定義數與不可定義數

盡管蔡廷常數算不出來，不過我們卻知道蔡廷常數是什么。它有一個明確的定義。但是，并不是所有的數都能夠用有限的文字描述出來。原因很簡單，因為長度有限的文字段落是可以逐一枚舉的（雖然有無窮多），而全體實數是不能枚舉的，因此，總存在一些不可能用語言描述出來的數。這種數就叫做不可定義數（undefinable number）。

自然數也好，有理數也好，根號2也好，圓周率也好，蔡廷常數也好，它們都有明確的定義，都屬于可定義數的范疇。事實上，整個人類歷史上所有文獻提到過的所有實數都是可定義的，因為它們都已經被我們描述出來了。但是，由于可定義數與全體實數的數量根本不在一個級別上，不可定義的數遠遠多于可定義的數。

那么，誰發現了第一個不可定義數呢？答案是，從沒有人發現過不可定義的數，以后也不會有人找到不可定義的數。因為不可定義數是無法用語言描述的，我們只能用非構造的方式證明不可定義數的存在性，但卻永遠沒法找出一個具體的例子來。

雖然有那么多數是沒有辦法描述的，但數學家們也不會損失什么。因為每一個值得研究的數，一定都有著優雅漂亮的性質，這些性質就已經讓它成為了能夠被定義出來的數。