從費(fèi)馬大定理到卡塔蘭猜想

胡作玄

1.解的存在性問題。對(duì)于大多數(shù)問題，首先必須判定不定方程有沒有解，因?yàn)槿绻麤]有解或只有平凡解，盲目去找是白費(fèi)工夫。一般來(lái)說(shuō)，總是要先試試是否能找到幾個(gè)解，如果能找到，心里就有底可以繼續(xù)往下進(jìn)行?，F(xiàn)在有了計(jì)算機(jī)的幫助，做這件事就比以前快多了。要是左找右找找不到，也許就要考慮證明沒有解或者只有平凡解了。不過(guò)，這也絕不是一件容易的事。

2.解的數(shù)目。在肯定不定方程有解后，就要知道解有多少。這一般有3種情形：

①只有平凡解;

②只有有限多非平凡解;

③有無(wú)窮多非平凡解。

當(dāng)證明只有平凡解之后，問題回到第一個(gè)步驟。

3.解的大小。當(dāng)知道不定方程存在非平凡解之后，就必須判定解是有限多還是無(wú)窮多，這時(shí)就要看有沒有辦法確定解的大小。如果所有解有一個(gè)上界，那么可以肯定解是有限多個(gè)。有時(shí)，我們不能一下子證明沒有解或者只有平凡解，可以通過(guò)解的大小證明解的個(gè)數(shù)有限，這是我們證明過(guò)程中的重要一步。費(fèi)馬大定理的證明曾有過(guò)這一步，雖然最后的證明并不依靠這個(gè)結(jié)果，但對(duì)于這里要講的卡塔蘭猜想的證明，這卻是關(guān)鍵的一步。

4.解的完全組。如果有解的話，列出所有的解或得出所有解的表示公式，就表示對(duì)某個(gè)不定方程實(shí)現(xiàn)了徹底的求解，就像勾股方程一樣。但是，除了最簡(jiǎn)單的不定方程之外，能達(dá)到這一步的不定方程真是少之又少?，F(xiàn)已知達(dá)到如此功德圓滿的不定方程，除了勾股方程之外，還有一次不定方程，如ax+by=c，其中a、b、c互素。還有一個(gè)佩爾（Pell）方程x-Dy=1.

二、許多高次方程仍是數(shù)學(xué)家未來(lái)研究的課題

由于不定方程數(shù)目眾多，兩三千年來(lái)我們已經(jīng)得到了許多有效的解決方法，主要分成四大類：

1.初等方法。主要是運(yùn)用初等代數(shù)和初等數(shù)論的方法。直到19世紀(jì)中葉，這都是研究不定方程最主要的方法。費(fèi)馬大定理的特殊情形就是借助初等方法，卡塔蘭猜想的特殊情形也是如此。

2.代數(shù)方法及代數(shù)數(shù)論方法。我們對(duì)費(fèi)馬大定理的研究導(dǎo)致了代數(shù)數(shù)論的發(fā)展，代數(shù)數(shù)論反過(guò)來(lái)又推動(dòng)了對(duì)不定方程的研究。同時(shí)，代數(shù)數(shù)論引起了20世紀(jì)抽象代數(shù)的發(fā)展，產(chǎn)生了對(duì)解不定方程至關(guān)重要的局部一整體原理。

3.丟番圖逼近法。這個(gè)方法起源于用有理數(shù)逼近無(wú)理數(shù)的研究，并在20世紀(jì)產(chǎn)生了一系列對(duì)不定方程解的有限性的證明，特別是卡塔蘭猜想。

4.丟番圖幾何方法。這是最先進(jìn)的方法，威爾斯就是用這個(gè)方法徹底證明了費(fèi)馬大定理。

三、卡塔蘭猜想

現(xiàn)在來(lái)看卡塔蘭猜想。其實(shí)，它考慮的是所有整數(shù)的二次冪、三次冪乃至高次冪之間的差距。我們來(lái)看一組具體的數(shù)值：

當(dāng)n=2，3，4，5，6，…時(shí)，

n=4，9，16，25，36，…

n=8，27，64，125，216，…

n=16，81，256，625，1296，…

n=32，243，1024，3125，7776，…

n=64，729，4096，15625，46656，…

n=128，2187，16384，78125，279936，…

我們按大小順序把這些方冪排在一起得到：

4，8.9，16.25，27.36，49，64，81，100，…

顯然，除了8、9之間的差距為1之外，再?zèng)]有差距為1的了。事實(shí)上，1000000以下也沒有，由此可能要考慮一般情形的證明了。

通常，碰到4個(gè)未知數(shù)的不定方程，往往要先看一下能否化簡(jiǎn)。卡塔蘭方程恰好可以。因?yàn)閺纳厦娴臄?shù)列可以看出，如果n的指數(shù)是復(fù)合數(shù)（除1與它自身外，還能被別的正整數(shù)除盡，這種數(shù)叫做復(fù)合數(shù)），則該數(shù)列中的數(shù)一定出現(xiàn)在n的指數(shù)為素?cái)?shù)的數(shù)列之中。實(shí)際上，如果p是u的一個(gè)素因子（一個(gè)整數(shù)如果能被一個(gè)素?cái)?shù)所整除，這個(gè)素?cái)?shù)就叫做這個(gè)整數(shù)的素因子），如u=pk，則n=n=n=（n）。

2.由ABC猜想可推出莫德爾猜想。莫德爾猜想是丟番圖幾何中的重要猜想，即虧格（genus）大于1的代數(shù)曲線上，坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)只有有限多。假定有一個(gè)二元方程，我們考慮所有滿足方程的復(fù)數(shù)x、y。這些解對(duì)應(yīng)了一個(gè)幾何曲面，拓?fù)鋵W(xué)家把這些曲面上的洞（hole）或者把柄（handle）數(shù)稱為曲線的虧格數(shù)，以此來(lái)刻畫曲線。虧格等于1的叫橢圓，虧格等于0的叫拋物線。這個(gè)極難的猜想在1983年被德國(guó)數(shù)學(xué)家法爾廷斯（G。Faltings，1954年一）所證明，因此，他榮獲了1986年的菲爾茲獎(jiǎng)。

3.由ABC猜想可以推導(dǎo)出只有有限多梅森數(shù)是方冪，以及只有有限多費(fèi)馬數(shù)是方冪。

4.由ABC猜想可以推導(dǎo)出只有有限多斐波納契數(shù)是方冪，同樣，是盧卡斯數(shù)的方冪也是有限多。

此外，由ABC猜想還可推導(dǎo)出許許多多猜想來(lái)，因此，證明（或反證）它是21世紀(jì)的一項(xiàng)重大任務(wù)。