例說(shuō)數(shù)理邏輯學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展

邏輯學(xué)是探索、闡述和確立有效推理原則的學(xué)科。用數(shù)學(xué)的方法研究關(guān)于推理、證明等問(wèn)題的學(xué)科就叫做數(shù)理邏輯學(xué)，也叫做符號(hào)邏輯學(xué)。

數(shù)理邏輯學(xué)的產(chǎn)生

利用計(jì)算的方法來(lái)代替人們思維中的邏輯推理過(guò)程，這種想法早在17世紀(jì)就有人提出過(guò)。萊布尼茨就曾經(jīng)設(shè)想過(guò)能不能創(chuàng)造一種“通用的科學(xué)語(yǔ)言”，可以把推理過(guò)程像用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行計(jì)算一樣，一步步得出正確的結(jié)論。由于當(dāng)時(shí)的科學(xué)發(fā)展水平有限，他的想法并沒(méi)有實(shí)現(xiàn)。但是他的思想?yún)s是現(xiàn)代數(shù)理邏輯部分內(nèi)容的萌芽，從這個(gè)意義上講，萊布尼茨可以說(shuō)是數(shù)理邏輯的先驅(qū)。

1847年，英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾發(fā)表了著作《邏輯的數(shù)學(xué)分析》，建立了“布爾代數(shù)”，并創(chuàng)造了一套符號(hào)系統(tǒng)來(lái)表示邏輯中的各種概念。布爾建立了一系列的運(yùn)算法則，并利用代數(shù)的方法研究邏輯問(wèn)題，由此初步奠定了數(shù)理邏輯學(xué)的基礎(chǔ)。

19世紀(jì)末20世紀(jì)初，數(shù)理邏輯學(xué)得到了更進(jìn)一步的完善。1884年，德國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷格出版了《數(shù)論的基礎(chǔ)》一書(shū)，在書(shū)中引人了量詞的符號(hào)，使得數(shù)理邏輯的符號(hào)系統(tǒng)更加完備。對(duì)建立這門(mén)學(xué)科做出貢獻(xiàn)的，還有美國(guó)哲學(xué)家皮爾斯，他也在著作中引入了邏輯符號(hào)，從而使現(xiàn)代數(shù)理邏輯學(xué)最基本的理論基礎(chǔ)逐步形成，并成為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科。

數(shù)理邏輯學(xué)的內(nèi)容

數(shù)理邏輯學(xué)兩個(gè)最基本也是最重要的組成部分，就是“命題演算”和“謂詞演算”。

命題演算是研究關(guān)于命題如何通過(guò)一些邏輯連接詞構(gòu)成更復(fù)雜的命題以及進(jìn)行邏輯推理的方法。如果我們把命題看作運(yùn)算的對(duì)象，如同代數(shù)中的數(shù)字、字母或代數(shù)式，把邏輯連接詞看作運(yùn)算符號(hào)，就像代數(shù)中的“加、減、乘、除”那樣，那么由簡(jiǎn)單命題組成復(fù)合命題的過(guò)程，就可以看作是邏輯運(yùn)算的過(guò)程，也就是命題的演算。

這樣的邏輯運(yùn)算也同代數(shù)運(yùn)算一樣，具有一定的性質(zhì)，滿(mǎn)足一定的運(yùn)算規(guī)律。例如滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律、分配律，同時(shí)也滿(mǎn)足邏輯上的同一律、吸收律、雙否定律、狄摩根定律、三段論定律等。利用這些定律，我們可以進(jìn)行邏輯推理，可以簡(jiǎn)化復(fù)合命題，可以推證兩個(gè)復(fù)合命題是不是等價(jià)，也就是它們的真值表是不是完全相同，等等。

命題演算的一個(gè)具體模型就是邏輯代數(shù)。邏輯代數(shù)也叫做開(kāi)關(guān)代數(shù)，它的基本運(yùn)算是邏輯加、邏輯乘和邏輯非，也就是命題演算中的“或”“與”“非”，運(yùn)算對(duì)象只有兩個(gè)數(shù)0和1，相當(dāng)于命題演算中的“真”和“假”。

邏輯代數(shù)的運(yùn)算特點(diǎn)如同電路分析中的開(kāi)和關(guān)、高電位和低電位、導(dǎo)電和截止等現(xiàn)象，只有兩種不同的狀態(tài)。因此，它在電路分析中得到了廣泛的應(yīng)用。

利用電子元件可以組成相當(dāng)于邏輯加、邏輯乘和邏輯非的門(mén)電路，也就是邏輯元件。還能把簡(jiǎn)單的邏輯元件組成各種邏輯網(wǎng)絡(luò)。這樣任何復(fù)雜的邏輯關(guān)系都可以由邏輯元件經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕M合來(lái)實(shí)現(xiàn)，從而使電子元件具有邏輯判斷的功能。因此，邏輯代數(shù)在自動(dòng)控制方面也被廣泛應(yīng)用。

謂詞演算也叫做命題涵項(xiàng)演算。命題涵項(xiàng)就是指除了含有常項(xiàng)以外還含有變項(xiàng)的邏輯公式。常項(xiàng)是指一些確定的對(duì)象或者確定的屬性和關(guān)系;變項(xiàng)是指一定范圍內(nèi)的任何一個(gè)，這個(gè)范圍叫做變項(xiàng)的變域。謂詞演算就是把命題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析成具有主詞和謂詞的邏輯形式，由命題涵項(xiàng)、邏輯連接詞和量詞構(gòu)成命題，然后研究這樣的命題之間的邏輯推理關(guān)系。

命題涵項(xiàng)和命題演算不同，它無(wú)所謂真和假。如果以一定的對(duì)象概念代替變項(xiàng)，那么命題涵項(xiàng)就成為真的或假的命題了。

命題涵項(xiàng)加上全程量詞或者存在量詞，那么它就成為全稱(chēng)命題或者特稱(chēng)命題了。

數(shù)理邏輯學(xué)的發(fā)展

數(shù)理邏輯這門(mén)學(xué)科建立以后，發(fā)展比較迅速，促進(jìn)它發(fā)展的因素是多方面的。比如，非歐幾何的建立促進(jìn)人們?nèi)パ芯糠菤W幾何和歐氏幾何的無(wú)矛盾性，這就促進(jìn)了數(shù)理邏輯學(xué)的發(fā)展。

集合論的產(chǎn)生是近代數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重大事件，但是在對(duì)集合論的研究過(guò)程中，出現(xiàn)了被稱(chēng)作數(shù)學(xué)史上的第三次大危機(jī)。這次危機(jī)是由于發(fā)現(xiàn)了集合論的悖論引起的。什么是悖論呢？悖論就是邏輯矛盾。集合論本來(lái)是論證很?chē)?yán)格的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，被公認(rèn)為是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。1903年，英國(guó)唯心主義哲學(xué)家、邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素卻對(duì)集合論提出了以他名字命名的“羅素悖論”。這個(gè)悖論的提出幾乎動(dòng)搖了整個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，從而促使許多數(shù)學(xué)家去研究集合論的無(wú)矛盾性問(wèn)題，由此產(chǎn)生了數(shù)理邏輯學(xué)的一個(gè)重要分支——公理集合論。

非歐幾何的產(chǎn)生和集合論悖論的提出，說(shuō)明數(shù)學(xué)本身還存在許多問(wèn)題。為了研究數(shù)學(xué)系統(tǒng)的無(wú)矛盾性問(wèn)題，需要以數(shù)學(xué)理論體系的概念、命題、證明等作為研究對(duì)象，研究數(shù)學(xué)系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)和證明的規(guī)律，這樣又產(chǎn)生了數(shù)理邏輯學(xué)的另一個(gè)分支——證明論。

數(shù)理邏輯學(xué)新近還發(fā)展了許多新的分支，如遞歸論、模型論等。遞歸論主要研究可計(jì)算性的理論，它與計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用有密切的關(guān)系。模型論主要是研究形式系統(tǒng)和數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系。

數(shù)理邏輯學(xué)近年來(lái)發(fā)展特別迅速，并對(duì)數(shù)學(xué)的其它分支，如集合論、數(shù)論、代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)等的發(fā)展產(chǎn)生了重大的影響，特別是對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展起到了很大的推動(dòng)作用。反過(guò)來(lái)，其它學(xué)科的發(fā)展也推動(dòng)了數(shù)理邏輯學(xué)的發(fā)展。