唐初數學家王孝通與《緝古算經》

李浩

中國古代數學的顯著特點是注重理論與實踐的結合。唐代著名數學家王孝通就成功地將三次方程的解題之術引入土木工程、倉庫容積等實際應用中，破解了當時的一些未解難題，成為世界上最早提出三次方程代數解法的中國古代數學家。王孝通撰寫的《緝古算經》還與《九章算術》《綴術》等數學名著一同被納入唐代學子必修的《算經十書》之中，成為古代極為重要的數學典籍，有著極高的學術地位。同時，王孝通有關三次方程的代數解法也對后世的數學發展起到了積極的促進作用。

一、唐代數學典籍《緝古算經》的歷史演變

隋唐時期，國力強盛，大規模建造皇家宮殿、寺院和橋梁，疏通擴建運河等大工程相繼開工，出現了大量復雜多變的計算問題，這極大地推動了當時應用數學的發展。數學家王孝通運用數學理論對土木工程、倉庫容積等問題進行了深入研究，并取得了豐碩成果。王孝通曾在《上輯古算經表》中說：“竊尋九數，即《九章》是也。其理幽而微，其形秘而約，重句聊用測海，寸木可以量天，非宇宙之至精，其孰能與于此者？”“漢代張蒼刪補殘缺，校其條目，頗與古術不同。”“魏朝劉徽篤好斯言，博綜纖隱，更為之注?！m即未為司南，然亦一時獨步?！边@表明王孝通對前人所撰的《九章》等數學著作進行了深入的研究，在給予積極肯定之后還進行了客觀的點評：“伏尋《九章·商功篇》，有平地役功受袤之術。……致使今代之人不達深理……斯乃圓孔方柄，如何可安？”王孝通認為《九章算術》中，雖有“平地役功受袤之術”，可解決土方計算等問題，但“舊經殘駁，尚有缺漏”，還應當探求更完善、更科學的計算方法。于是，王孝通在前人的數學研究成果之上，進行了長時間的潛心鉆研，并結合當時土木工程中出現的大量實際問題，將算法與實際應用有機結合，終于探索出更為有效的解決辦法。最終，王孝通于625年（武德八年）在長安寫成了《緝古算經》。全書共收錄了20個問題，除第1問為歷法問題之外，其余均為土木工程、倉庫容積以及勾股定理的實際應用問題。其中，最為重要的內容是關于修筑兩端寬狹不一、高低不同的堤壩問題，以及已知體積反求邊等問題。成書之后，王孝通對自己所撰著的《緝古算經》頗為自信，并在上奏唐太宗李世民時說：“請訪能算之人，考論得失，如有排其一字，臣欲謝以千金?！蓖跣⑼ǖ淖孕攀怯械览淼?，他是中國數學史乃至世界數學史上第一位提出并求解三次方程問題的人，充分體現出王孝通對當時數學的研究已達到了極為高深的水平。

《緝古算經》自唐代起便出現了抄本，宋元豐七年（1084年）時，更有秘書監趙彥若等校定刊本。至明代，刊本幾乎遺失，僅存章丘李開先所藏的一部南宋刊本。在千余年的輾轉相傳之中，也曾出現衍、脫、誤、壓等問題，甚至有的題目難以卒讀。至清代孔繼涵刊刻微波榭本《算經十書》，方得以首次校補。隨后毛晉獲得《緝古算經》后，加以影抄而留傳于世。到了清代中期，對《緝古算經》的研究之風盛行，先后有諸多學者加以?？?，如李潢的《緝古算經考注》、張敦仁的《緝古算經細草》、陳杰的《緝古算經細草》以及《緝古算經注》《緝古算經音義》等。

二、《緝古算經》所涉及的數學理論

《緝古算經》的主要內容分為四大類：第一類，天文問題。《緝古算經》中的第1問是關于計算月亮方位的天文歷法方面的問題，并糾正了舊術中的一些錯誤。第二類，土方體積問題?！毒児潘憬洝分械?-6問和第8問主要是關于計算土木工程中的土方體積問題。王孝通對《九章算術》中提到的“平地役功受袤之術”中的“上寬下狹，前高后卑，正經之內，闕而不論”的問題進行了深入探究與潛心鉆研。他一方面要根據工程的實際條件計算其體積以及長、寬、高，另一方面還要通過已知的某一部分工程的體積及一些參數來進一步計算出其長、寬、高，這些復雜問題已遠遠超過了以往任何一部算經。為此，王孝通進行了大量的演算與實際測量，正如其在《上緝古算經表》中所言：“臣晝思夜想，臨書浩嘆，恐一旦瞑目，將來莫睹。遂于平地之余，續狹邪之法，凡二十術，名日《緝古》?！边@清楚地說明了他撰寫《緝古算經》的根本目的與研究成果。如王孝通在《緝古算經》第3問“堤積問題”之中的題設就多達290個字，雖繁復但準確無誤，足見他對土方體積問題研究的深入程度。第三類，倉庫容積問題。《緝古算經》中第7問及第9-14問，主要是關于計算各種形狀的倉庫、地窖的容量問題或是其中一段的高、廣、徑，并根據題設尺寸間的大小關系來進一步反求各邊線的尺寸。第四類，勾股問題?！毒児潘憬洝分械?5-20問，即在已知勾、股、弦三事二者之積或差時，求勾、股、弦。與此同時，王孝通還創造性地將勾股問題引向了三次方程，將之與代數方法有機結合，進一步擴大了勾股算術的范圍。而這類勾股問題也是在中國古代數學史上首次被提出。

《緝古算經》全書中的20個問題，可列出三次方程式的就多達28個，雖然所列方程的系數及解出的根還僅限于正數，但對我國后世乃至世界數學的發展，均起到了積極的促進作用。

三、王孝通的數學功績與《緝古算經》的深遠影響

唐代盛世的開放，推動了教育、文化、藝術、科學的長足發展，在教育領域，唐繼承隋制，在國子監內設立“算學”，對數學進行研究。唐代統治者對數學教育較為重視，唐太宗李世民曾多次親臨國子監視察，使得唐代的數學達到了“國學之盛，近古未有”“是歲大收天下儒士……其書算各置博士學生，以備眾藝”的繁盛局面。與此相應的則是在顯慶元年（656年）作出的規定，包括《緝古算經》在內的《九章算術》《綴術》《周髀算經》等十部漢、唐一千多年間的著名數學著作，成為當時最高學府的數學教育用書，后世通稱為《算經十書》，科舉考試中明算科的考試內容主要就是從《算經十書》中選題。國子監算學館還對《算經十書》中唯一的一部由唐代數學家撰寫的《緝古算經》作出了規定：學生在學習《緝古算經》時，必須學滿三年。這也足見其在唐代數學教育中的重要地位。王孝通在《緝古算經》中對高次方程解法的研究，對宋元時期的數學發展影響極大。宋元數學家在王孝通建立和求解三次方程的基礎上繼續深人研究，終于發明了“天元術”和“四元術”，建立并完善了高次方程的布列方法和數值解法，達到了中國古代數學發展的高峰。

中國古代的科學文明曾令西方嘆服，王孝通在《緝古算經》中用三次方程解決實際應用問題，具有巨大的學術價值，這不僅是中國現存典籍中最早的記錄，也是世界數學史上關于三次方程數值解法及其應用的最古老的著作。在西方，雖然有人也較早地知道三次方程，但其最初是利用圓錐曲線的圖解法，直至意大利數學家菲波那契在13世紀時，才得出了三次方程的數值解法，這比王孝通晚了六百多年。

正如日本著名數學史家三上義夫所說：“唐王孝通之《緝古算經》，使用三次方程式以解各種問題?！袊闪⑷畏匠淌剑嗽诎⒗?而由術文推得之方程式解法，亦與發達于阿拉伯者全不同也?！倍鴮W者李約瑟則說：“三次方程最早是在《緝古算經》中發現的……這些方程是從工程師、建筑師和測量人員的實際需要中產生的”，這進一步體現出王孝通繼承了中國古代的數學思想，即數學算法，并將之與靈活多變的實際應用有機結合。他的《緝古算經》，為后世的數學及數學思想的進一步發展作出了杰出貢獻。