數形結合百般好，釋放課堂好聲音

陳娜萍

摘 要：筆者有幸觀摩了一節公開課——“雙曲線的簡單幾何性質”。這是一堂解析幾何課程，數形結合思想在其中的重要地位不言而喻。開課的周老師在本節課上將“數”與“形”有機地結合起來，讓學生在代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述中巧妙互化，使代數問題幾何化、幾何問題代數化，相互滲透，以達到抽象思維和形象思維的充分結合。在整節課中，周老師向學生著力滲透數形結合的思想，符合新課標在本節課中所提倡的教學理念“通過本節課的學習，讓學生進一步體會數形結合的思想。”

關鍵詞：數形結合、以形助數、以數解形

相比于橢圓的幾何性質，本節課中漸近線是雙曲線所特有的性質，而漸近線的發現以及運用極限思想證明其定義式，是本節課的重點與難點。周老師在此花了半節課的時間，準確地把握住“發現——表示——證明”的概念教學主線，利用數形結合的思想突出本節課的重點，突破教學中的難點，同時為學生提供了很好的平臺去闡述自己的想法，釋放出數學課堂的好聲音。以下分為三點具體闡述：

1.以形助數，奏起課堂好聲音

周老師用了10分鐘時間，對雙曲線的三個幾何性質（范圍、對稱性、頂點）進行討論，接著用了一句話很自然的銜接語言進行過渡，他說“研究了前面的性質，大致了解雙曲線的性質，但能否反映整個圖象的特征？（請同學們）再從圖像看看”。看似簡單的一句話，實則對學生再次從整體上觀察圖象具有明確的導向作用，體現了周老師深厚的教學功力。這時同學們結合PPT中呈現的雙曲線圖象進行討論，給出了“圖象具有局部性”的聲音。此刻，周老師及時捕捉課堂好聲音，引入Z+Z軟件輔助教學，恰到好處地使用軟件延長圖像的一端，從變化的角度更清晰地體現圖像的變化趨勢，引發學生對“圖象是否為一條直線”的思考，從而達到了教學預設的目的，以形助數的功能也得以充分發揮，同時激發學生對問題解決的濃厚興趣。

2.以數解形，唱出課堂好聲音

周老師繼續以問題——“如何從方程的角度入手分析幾何特性”——為驅動，引導學生積極探索，先對雙曲線方程在第一象限內變形，得到，再讓學生從數量的角度對該式子進行討論。學生經過一番思索得出結論：“當x無限增大，a對式子的影響可以忽略不計”，從而得到直線方程。周老師借題發揮，對此打了一個比方：“如果捐款的人月工資只有兩萬，那么捐一萬對他的影響很大，如果是一個成功的企業家，身家有幾億，一萬對他的影響就很小”用極為通俗的語言初步滲透極限的思想，讓學生通過生活經驗體會逼近的內涵，可以看出周老師的用心所在。“雖然影響小但不是沒有！”因此在第一象限始終成立，而從圖像上看直線都在曲線的上方。這個過程以數解形，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數學本質進行思考和作出判斷，為學生數學思維的展示提供一個完美的舞臺。

3.數形結合，回響課堂好聲音

“如何結合圖像充分說明曲線無限靠近直線，嚴格證明的準確性”是周老師繼而拋出的問題。周老師再次使用Z+Z軟件的動態演示，改變M的位置，可以看出直線和曲線之間的距離越來越小，引導學生用距離來解釋，即MQ的長度，并抓住θ始終不變，由轉化為MN，即，經過周老師的循循誘導，抓住了問題的實質，通過數形結合，雙管齊下，共同攻克了本節課的難點，讓學生領悟了“以直代曲”的數學思想。

新課程標準指出，數學教學要重視思維過程，以培養學生的思維能力為主要目的。而我們所用教科書中的許多內容，往往直截了當地給出了發現的結果，淡化了新知識的發現過程，可是正是這種發現的過程，對學生對創新思維的培養、數學素養的積淀可“收到意想不到的效果。本節課結合教材的閱讀材料，創造性地運用教材，從數學思維的過程出發，恰到好處地發揮“數形結合”的獨特作用。

本堂課由低到高、由靜到動、由顯到隱、由定性到定量，循序漸進，數形互為表里，是一堂能夠聽到學生數學好聲音、讓學生發表自己的看法的課。著名的數學家華羅庚先生曾經也說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。”可見數形結合思想在數學課堂中的重要性。

參考文獻

[1]葛士才.“數形結合百般好”——數學解題教學例談[J].教育研究與評論（課堂觀察），2016，000（012）：87-88.

[2]張翼.以形助數奧妙無窮——例談構造幾何圖形在解題中的妙用[J].高中數學教與學，2013，000（007）：P.48-48.