等軸曲線問題的函數解法

蘇倩倩

摘 要：等軸雙曲線的標準方程經過旋轉可以轉化成函數xy=k的模型，本文主要介紹等軸雙曲線與函數的一些聯系，著重數學模型的構建及簡化模型，引發借助反比例函數模型解決等軸雙曲線問題的一些探究與思考。

關鍵詞：函數解法;等軸雙曲線;圖像旋轉

函數是將問題轉化為數學模型的工具，其本質是一種對應思想;雙曲線方程經過適當的變換，可以構成函數的一種對應。筆者認為：雙曲線中的一些問題可以借助函數工具進行解答。如：雙曲線的標準方程為：，則：，令：，則雙曲線標準方程為uv=1，此時：，于是形式上轉化為反比例函數。通過這種換元思想，將xoy坐標軸上的雙曲線轉化為uov坐標軸上的反比例函數，借助uov坐標軸上的反比例函數，解決xoy坐標軸上雙曲線的一些問題。實際上，這種變換是一種映射的轉移，從方程的角度看，這是一種代數的換元思想，用新元u，v代替原有的x，y，在求解問題時，只需求解出相應的u，v，最后轉化為x，y即可。

從圖形的角度看，這種變化是將xoy坐標軸上的雙曲線圖形進行相似變換和旋轉變換，得到相應uov坐標軸上的反比例函數。如圖所示：

按照模型模仿，模型轉換，模型構建的思路將雙曲線方程模型轉化為反比例函數模型，從熟知的函數模型入手，解決等軸雙曲線問題。

例1（2017全國卷Ⅲ理.22）在直角坐標系xoy中，直線l1的參數方程為（t為參數），直線l2的參數方程為（m為參數），設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C

（1）寫出C的普通方程;

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：，M為l3與C的交點，求M的極徑。

解：（1）略.C的普通方程為（）。

2由（1）可知曲線C為雙曲線，，令，則曲線C可轉化為：uv=1，l3的方程為：，即原先在xoy坐標軸上的點M在新的坐標系uov坐標軸上為，即。根據徑。

注：參數方程與極坐標問題可以轉化為直角坐標系問題，將直角坐標系問題進行圖形變換，轉化為反比例函數問題，建立一個新的數學模型，進而求解。有助于培養學生的想象力與創造力、知識模塊的內在聯系與建構、學生的知識遷移以及思維轉變能力。

在解決上述旋轉問題時，應理清這種旋轉是xoy坐標軸上所有圖像圍繞原點進行旋轉45°，而不是簡單的換元。

例2（2015江蘇高考.12）在平面直角坐標系xoy中，P為雙曲線x2-y2=1右支上的一個動點。若點P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立，則是實數c的最大值為

分析：如果僅利用換元思路：令，則雙曲線轉化為：uv=1，直線x-y+1=0換元后得到u=-1，于是在反比例函數uv=1中點到直線u=-1的距離恒大于1。

上述分析只是簡單的換元思路，雙曲線進行了旋轉，而直線只是換元，并不是圍繞原點旋轉，因而得到的解是不正確的。直線圍繞原點在xoy坐標軸上旋轉45°得到的方程是，雙曲線右支上的點經過旋轉后在反比例函數uv=1，u>0的部分上，通過圖形對比可以知：它到直線的距離大于，即答案為.如下圖所示：

參考文獻

[1]張必平;雷松柏;利用等軸雙曲線的一個變換簡解一道高考題[J].數學通訊，2007（18）.

[2]顏美玲.從反比例函數到一般雙曲線圖像的性質[J].數學通報，2018，57（04）：30-32.