通解巧解解幾何試題培養學生解題能力

陳新華

學數學離不開解題，解題能力強的學生在高考中占有絕對優勢。因此作為一線的教師如何在課堂教學中培養學生解題能力是當今教學的重中之重。數學中的通解是解題的基本方法，由一道題的解法拓展到一類題型的解法這種體現一般規律的基本方法是解題中常用的方法。利用通解解題是我們平時解題教學的主要方法，也是進行解題能力培養的好手段。而數學中的巧解是通解的更進一步提升，它需要具體問題具體分析，需要有較強的觀察能力以及應變能力更需要通盤各知識間的聯系，它更是訓練學生靈活解題的好渠道。

圓錐曲線試題歷年是高考的熱點，這類試題特點是知識點多、性質多，要記的結論多，又易混淆，求解中不僅涉及到解析幾何還涉及到平面幾何，平面向量、函數、導數等。因此充分利用圓錐曲線試題的這一特點從不同的解法、知識之間的聯系進行歸納、比較可以使學生的解題能力有一個質的飛躍。本文借助圓錐曲線試題，探討用通解、巧解這兩類不同的解法解圓錐曲線試題從中達到有效培養學生的解題能力。下面通過具體例子做進一步闡述。

1.典型案例解析

典型案例已知點M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點.若∠AMB=90°，則k=________.

解法1（通解）由拋物線C：y2=4x得焦點（1，0），由題意可知：直線的斜率k≠0

設AB所在直線方程為x=my+1，其中

聯立得：

解法2（巧解）：設取AB中點，分別過點A，B作準線x=-1的垂線，垂足分別為，

則MM'就是直角梯形的中位線，因為M（-1，1）所以y0=1，則y1+y2=2

所以

評析解法1：一涉及到直線與圓錐曲線中重要思想方法即設而不求法，二涉及到在解析幾何中直角的一般使用方法即用平面向量的數量積等于0表示出來，這種解法可以很好地訓練學生解題的基本功。解法2此方法很巧妙，一它借助于拋物線的定義以直代斜、二平幾中直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三直線與圓錐曲線中第二種重要的思想方法點差法。此方法特點是計算量較少，但思維量較大。而使用此方法的關鍵是發現題目中的點M（-1，1）恰巧在拋物線的準線上而直線又過焦點，同時對直角又能聯想到平幾的知識。

2.強化應用

強化案例設F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得（O為坐標原點），則該雙曲線的離心率為（）

A. B. C. D.

解法（通解）設∵O是的中點

評析求雙曲線的離心率關鍵是a，b，c中等量關系的探求，此題中|OP|=3b的表示是解題的突破口。解法1借助向量的性質，解法2利用雙曲線焦點三角形的面積公式。這兩種方法都從各自不同角度將數形結合法與解析法結合起來，各有千秋是訓練學生解題能力的好題目。

3.結束語

實踐表明，教師如果在講解圓錐曲線試題中能把圓錐曲線中出現的通解、巧解進行深一步的剖析、挖掘、歸納不僅培養了學生解圓錐曲線試題的興趣，而且也培養了學生的解題能力。

參考文獻

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