淺議導數在競賽中的解題應用策略

郭銘紀

摘 要：導數是高中數學的重點知識，是學習微積分的重要橋梁.在一些競賽中常涉及導數的應用，技巧性較強，很多學生不知所措，失分較為嚴重.為提高導數應用水平，靈活解答相關競賽試題，在競賽中取得理想成績，教學中應圍繞具體試題講解，與學生一起總結導數在解題中的應用策略.

關鍵詞：高中數學;導數;競賽;解題;應用策略

一、夯實基礎，正確求導

解答該類試題的策略一般應牢記以下內容：其一，保證求導結果的正確性.同時，注意函數的定義域，為后面的解題奠定基礎.其二，在涉及參數的函數中，進行分類討論.

例1 （2019年全國數學聯賽廣西賽區預賽）已知函數f（x）=（a+1a）lnx+1x-x.

（1）設a>1，討論f（x）在區間（0，1）上的單調性.

（2）設a>0，求f（x）的極值.

二、靈活應變，巧妙轉化

解答部分高中數學競賽試題時，需要在認真審題基礎上，融匯貫通所學，突破慣性思維，才能找到解題思路.一方面，深入分析題干問題，能夠透過現象看本質，結合問題形式，大膽設想，通過構造函數，運用導數進行分析.另一方面，解題時應認真推理，確保上下推理的嚴謹性，尤其有“=”存在時，應明確“=”成立的條件.

例2 （2019年全國數學聯賽福建賽區預賽）已知

三、注重拓展，提升能力

為使學生能夠運用導數順利解答高中競賽中一些難度較大的題目，一方面，深入講解導數表示的幾何含義，理解導數的本質，保證在解題中正確運用.另一方面，適當為學生講解一些拓展內容，如為學生講解導數的導數，并結合相關競賽試題的講解，使學生牢固掌握，在競賽中能夠迅速找到解題思路.

例3 （2018年河北高中數學競賽）已知曲線f（x）=ex-1和曲線g（x）=lnx，分析兩個曲線的公切線的條數.

綜上可知方程ex-1-xex-1+a=0有兩個不同的根，因此，兩條曲線的公切線共有兩條.

參考文獻：

[1]李世明.高中數學解題中的導數應用研究[J].數學學習與研究，2019（11）：135.

[2]邱廷月.例說導數幾何意義在解題中的應用[J].數學學習與研究，2019（04）：96-97.

[3]王秀鳳.例談構造函數在導數解題中的應用[J].課程教育研究，2018（32）：104-105.

[責任編輯：李 璟]