靜摩擦因數臨界問題的探討

沈靜

摘 要：力學作為物理課程的重點研究領域，對初步培養學生的理論物理思維和研究方法起著至關重要的作用.本文著重探討了在靜摩擦系數足夠大的情況下，兩物體間分離時摩擦力突變情況.本文的研究具有一定理論價值，為相關的研究提供了參考.

關鍵詞：靜摩擦力;臨界問題;解題策略

在物理研究領域，為方便分析，需要進行一定的簡化處理，比如對接觸的兩個物體在靜摩擦因數很大條件下，一般需要適當化簡，不過在化簡時，應該注意到相關狀態改變，避免出現臨界問題而導致錯誤.

例 如圖1，在水平面上，存在一個豎立的圖1勻質直桿子，其長為2α、質量為m，和地面的靜摩擦因數足夠大.對其施加一微擾，而開始自由倒下，桿的下端開始脫離地面時，求解其與豎直方向夾角為多大？

（1）確定出分離時的狀態

具體情況如下，初始條件為初始離地瞬間，根據機械能守恒定律進行分析可知，存在關系式

（3）問題分析

本題為直桿與地面分離相關的臨界問題，臨界分別為前一個狀態的末態，以及后一個的初態，表現出一定的過渡屬性.具體分析可知，在靜摩擦因數充分大情況下，兩個物體接觸的正壓力不為零，靜摩擦力表現出一定的變化性.在此臨界條件下，正壓力趨于零，不過也有一定大小的靜摩擦力，而在分離后則摩擦力為零.由此可判斷出在此條件下，分離前后，摩擦力會大幅度改變，且對應的加速度同樣的改變.而以上例子在進行求解時，沒有將分離前、后瞬間劃分開而導致錯誤.公式⑤計算分析確定出的為分離前瞬間加速度，此條件下正壓力已經很小，但仍存在一定摩擦力.因而⑥式正確，⑦式由于沒有區分分離前后而出錯.因而在實際的應用過程中為避免出現這類問題，應該確定出對應的狀態為分離前還是分離后瞬間，在前一種條件下應該分析一定大小的靜摩擦力.

（4）過程分析

圖2顯示了二者的關系曲線，具體分析可知在此變化過程中，彈力N逐步趨于零，而分離前瞬間f向左，而在分離后則變為零.

（5）拓展應用

以上在舉例分析基礎上，討論了靜摩擦因數充分大條件下，物體分離前后的摩擦突變問題，接著對類似的問題進行分析.如圖3所示，將一個小球放在半圓柱頂圖3端，小球的質量為m、半徑為r，半圓柱體的截面半徑為R=7r、質量為M=1.5m，假設二者間的靜摩擦因數充分大，適當對小球一微擾促使其滾下.計算出在兩種狀態下小球與圓柱脫離時，對應的θ數值.

①半圓柱固定時，小球與圓柱脫離時的θ;

②半圓柱和地面間無摩擦時，小球與圓柱脫離時的θ.

第1種狀態下，初態到任意角度θ過程中，根據機械能守恒定律分析可知存在關系式

這種條件下二者間的摩擦力為0.217.而在半圓柱系下進行臨界分析時，應該討論慣性力因素，在此存在一種常見的錯誤觀點為，分離后瞬間半圓柱在水平方向不受力，而將分離的條件表示為：

在此應該注意到在分離前瞬間，圓柱已經出現一定的運動，在受力作用下圓柱體開始減速.這種現象表現出一定反常性，具體分析此現象出現原因為，設定了“靜摩擦因數足夠大”，不過進一步分析可知這種現象雖然 “反常 ”但依然符合物理規律，可基于相應的定律進行分析求解.

參考文獻：

[1]張啟明.經典力學[M].北京：科學出版社，2002（1）：34.

[2]周衍柏.理論力學教程[M].北京：高等教育出版，1986（3）：76-89.

[3]吳德明.理論力學基礎[M].北京：北京大學出版社，1995：98-101.

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