一類解三角形問題的多角度思考

摘?要：已知某邊分點的一類解三角形的問題，常常可以多角度地進行求解，如采用“向量法”，“算兩次的方程思想”，“結合平面幾何轉化”.

關鍵詞：解三角形;分點;解法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0009-02

一、典例分析

題目?（湖北省2020年第五屆高考測評活動高三元月調考）如圖1，

在△ABC中，cos∠BAC=14，點D在線段BC上，且BD=3DC，AD=152，則△ABC的面積的最大值為（）.

A.32B.4

C.15?D.23

解析?設BC=a，AC=b，AB=c.

1.向量法

由AD=14AB+34AC，所以AD2=14AB+34AC2，

AD2=116AB2+916AC2+38AB·AC，

154=116c2+916b2+332bc.

因為116c2+916b2+332bc≥1532bc，故1532bc≤154，bc≤8.

因此△ABC的面積S=12bcsin∠BAC=158bc≤15.

2.算兩次的方程思想

在△ABC中，a2=b2+c2-2bc·cos∠BAC，

a2=b2+c2-12bc.

在△ABD中，cos∠BDA=1522+34a2-c22×152×34a;

在△ACD中，cos∠CDA=1522+14a2-b22×152×14a.

因為cos∠BDA=-cos∠CDA，所以1522+34a2-c22×152×34a=-1522+14a2-b22×152×14a，

化簡得a2=4b2+43c2-20.又a2=b2+c2-12bc，

所以4b2+43c2-20=b2+c2-12bc，

3b2+13c2+12bc=20.

因為3b2+13c2+12bc≥52bc，故52bc≤20，bc≤8.

因此△ABC的面積S=12bcsin∠BAC=158bc

≤15.

3.結合平面幾何的轉化法

圖2

延長AD到E，使得CE∥AB，則△DAB∽△DEC.

因為BD=3DC，則CE=13AB=13a，DE=13AD=156.

△ACE中，AC=b，CE=13a，AE=AD+DE=2153，cos∠ACE=-cos∠BAD=-14，

由余弦定理得

21532=b2+19a2-2×b×13a×-14，

化簡得203=b2+19a2+16ab.

因為b2+19a2+16ab≥56bc，故56bc≤203，bc≤8.

因此△ABC的面積S=12bcsin∠BAC=158bc≤15.

4.結合平面幾何的轉化法圖3

在AC上取點E使得DE∥AB.

因為BD=3DC，則AE=34AC=34b，DE=14BA=14c.

△ADE中，AD=152，DE=14c，AE=34b，cos∠AED=-cos∠BAD=-14.

由余弦定理得

1522=34b2+14c2-2×34b×14c×-14，

化簡得154=916b2+116c2+332bc.

因為116c2+916b2+332bc≥1532bc，故1532bc≤154，bc≤8.

二、解法揭示

試題結構?在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.問題中常涉及的量：

（1）角∠BAC;

（2）點D在線段BC上，且BDDC=λ;

（3）AD的長度;

（4）△ABC的面積或周長等.

解題方法：

法一：可以采用“向量法”，把AD用AB、AC線性表示，即AD=1λ+1AB+λλ+1AC，兩邊平方后可得a，b，c，∠BAC的關系，再根據具體問題盡行轉化;

法二：分別在△ABC，△ABD，△ACD中解三角形，注意到AD分別在△ACD、△ABD三角形內，∠BDA與∠CDA互補，BC=BD+DC等，應用算兩次的方程思想，從而可得a，b，c，∠BAC的關系，再根據具體問題盡行轉化;

法三：結合平面幾何進行轉化，先構造平行線，從而得到相似三角形，得到對應邊成比例，再把已知的量集中在某個三角形內，解三角形得到a，b，c的關系，再根據具體問題盡行轉化.

三、類題賞析

1.在△ABC中，A=π6，AB=33，AC=3，D在邊BC上，且CD=2BD，則AD=（）.

A.27B.21C.5D.19

答案：D.

2.在△ABC中，AB=AC，D為AC的中點，且BD=1，則△ABC周長的最大值為（）.

A.23B.33C.32D.62

答案：D.

圖4

3.如圖，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P為CD上一點，且滿足AP=mAC+12AB，若△ABC的面積為23，則AP的最小值為（）.

A.2B.3C.3D.43

答案：B

參考文獻：

[1]杜志健.2017年全國各省市高考試題匯編（理科）[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社出版社，2017.

[2]許銀伙，楊蒼洲.我解壓軸題之：端點嘗試，預測思路[J].數理化解題研究，2018（1）：35-38.

[責任編輯：李?璟]