高中數學解題三境界

劉顯海

摘?要：在高中數學解題教學中，教師要從多個層次、多個境界探索教材典型例題、習題的解答，通過對各個層次的梳理、優化、拓展和延伸，尋找其內在的聯系和規律.根據學生的實際情況，設定教學目標.在課堂教學中，采取適當的教學方法，拓展學生思維，引導探究反思，體會數學思想，創新解題思路，發掘并擴大數學問題的教學價值.

關鍵詞：解題教學;教學價值;一題三境界

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0079-02

王國維在《人間詞話》中，將做學問的三階段用古典詩詞唯美而形象地表達出來.第一階段是：昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路;第二階段是：衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴;第三階段是：眾里尋他千百度，暮然回首，那人卻在燈火闌珊處.

筆者東施效顰，對高中數學解題的三個階段也作了一個類似的概括.宋代吉州青山惟政禪師有一個著名的公案，他說：“老僧三十年前未參禪時，見山是山，見水是水;乃至后來，親見知識，有個人處，見山不是山，見水不是水;而今得個休歇處，見山還是山，見水還是水.”此處我們姑且不去討論這個禪宗的著名公案所表達的深刻禪意，而只是借此對應我們解題過程中的三個階段、三個境界.

一、見山是山，見水是水

正如禪師所言，“見山是山，見水是水”是“老僧三十年前未參禪時”的狀態，從解題的角度來看，這屬于拿到題目后的首次接觸，對題目的條件和問題作了一個初步的觀察、了解，題目方方面面之間的聯系并未了然于心，更遑論透過現象看到本質了，作為初學者或水平較低的解題者而言，往往只能達到這個階段，或者說始于此止于此.那么，或者根本無法解決問題，即使勉強解決了問題，采用的方法也多半是就題論題，停留在問題的表面，不夠簡潔、深刻.以一道高考題為例：

例1?函數f（x）=（x+1）2+sinxx2+1的最大值和最小值之和為.

分析?題目是要求最大值和最小值之和，止步于第一階段的解題者會嘗試著分別去求函數f（x）=（x+1）2+sinxx2+1的最大值和最小值，然后再求和.很顯然，這是幾乎難于完成的任務，這就是停留在“見山是山，見水是水”階段的弊端，該題的解答需要到第二階段完成.

二、見山不是山，見水不是水

這是“乃至后來，親見知識，有個人處”達到的階段，屬于在經歷第一階段的表象觀察后經過深入探究思考，理清各方面關系，初步掌握問題的本質后達到的比較成熟的階段，對于解題而言，在找到條件和結論之間的有機聯系之后，或許可以經過對條件和結論的加工改造，也就是我們在解題時常說的“化歸與轉化”之法，將原本的問題轉化成為另一個與之等價的問題.重要的是，經過轉化之后的新問題較原問題易于解決，在很多的解題實踐中，，實施這種等價轉化的成功與否往往是能否解決問題的關鍵，而且題目難度越大，需要經過改造手術也越大，有時甚至達到面目全非的境地，這正是此階段“見山不是山，見水不是水”的題中應有之義.絕大多數的題目解答，都必須經歷第二階段的洗禮才能解決.

例1?函數f（x）=（x+1）2+sinxx2+1的最大值和最小值之和為.

分析?從上面第一階段的分析我們已經得知，局限于“見山是山，見水是水”的第一階段無法解決該題，那么，我們進入第二階段，即試圖尋找問題本質，對問題進行轉化，原題為“求最大值和最小值之和”，在第一階段我們試圖直接解出最大值、最小值，失敗了.那么，能否不求兩個最值而直接求出其和呢？很顯然，“求和”才是問題的本質.因而，問題的關鍵是需要我們去尋找該函數最大值和最小值的聯系，這個“聯系”最終會使得我們達成“求和”這個目的.從這個角度切入，通過觀察函數的特點，再聯想到奇函數具有最大值和最小值互為相反數的性質.我們將問題轉化為：研究函數f（x）=（x+1）2+sinxx2+1的奇偶性.由f（x）=（x+1）2+sinxx2+1=x2+2x+1+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1，令g（x）=f（x）-1，則函數g（x）為奇函數，故gmax+gmin=0，而fmax+fmin=（gmax+1）+（gmin+1）=2.這就是抓住本質后轉化問題表述所達到的功效.這也是第二階段最顯著的特征：“見山不是山，見水不是水”，絕不是說山、水已經變成其他東西了.而是說透過其表象看到了本質，一如解題，條件在那，問題也還在那，但我們可以對其進行加工改造，抓住本質，達成目標.

三、見山還是山，見水還是水

這是“而今得個休歇處”時達到的最高境界，也是經過前兩個階段后獲得充分領悟的完美階段，從解題階段來看，在前兩個階段由表及里、從現象到本質的深入仔細的審查求證之后，我們似乎已經大功告成，但是，要想達到一個完美的解題階段，獲得最大的解題效果的話，我們還得對前面第二個解題階段進行回顧反思，第一階段僅僅就題論題、流于表面的做法當然不可取，但是第二階段對原來的問題進行改造手術是否真的就是必需的或是最好的呢？或許，我們的問題不做任何改變能更漂亮地解決也未可知.果真如此，何不返璞歸真，“真水無香”？

當然，不是每個題目的解答都必須達到第三個階段，往往只有少數較難或者較為深刻的題目，在第三階段時才得到升華.

下面再舉一個經典的例子來綜合說明一下解題的三境界.

例2?（見文[1]）已知x1-y2+y1-x2=1，x，y∈R+，求x2+y2的值.

第一階段分析：從“已知x1-y2+y1-x2=1，x，y∈R+”中試圖通過類似解方程的方法去求出x，y兩個變量之間的關系，也就是用x表示y或者用y表示x，這顯然不可行，問題解決就此陷入困境，止步于此，將無功而返.

第二階段分析：仔細觀察已知的等式，我們從中發現了一個關鍵，即x，y∈（0，1），這有什么用呢？細細思考以后，就能聯想到此處可用三角換元法來嘗試.令x=cosα，y=cosβ，其中α，β∈（0，π2），將其代入已知等式中得到cosαsinβ+cosβsinα=1，即sin（α+β）=1，結合已知條件α，β∈（0，π2）可知α+β=π2，所以x2+y2=cos2α+cos2β=1.

至此，通過已知等式的形式和變量的取值范圍這些“本質”，利用三角換元法，我們成功地解決了該題，方法巧妙、簡潔明了.當然此題還可以從不同角度去挖掘“本質”，從而得到迥然不同的其他多種解法.但換元法畢竟是一種間接的方法，該題是否有直接的方法呢？

第三階段分析：承接上面的問題，我們希望達到“見心是佛，直指人心”的最高境界，那就是不作任何換元二直接解決問題.實際上，進過深入的審視，我們是能夠回歸“見山還是山，見水還是水”的本真狀態，此為最美境界.解答如下：

因為1=x1-y2+y1-x2≤x2+1-y22+y2+1-x22=1，所以該式等號成立，這說明x=1-y2及y=1-x2，兩式都表明x2+y2=1.

一個禪門公案，一首著名的禪詩，三個解題階段，三種解題境界.在解題時做個善于思考的有心人，更好地學會做題，記住最高的解題境界就是樸實無華的本真唯美.《老子》有云：“取法乎上，得乎其中”，努力地去追求本真唯美的至高境界吧！

參考文獻：

[1]羅增儒.解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2009.

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