李定平



摘?要:對一道高考選擇壓軸題的解法進行了探究,得到用圖思考求ω比計算更為快捷,說明了已知三角函數y =Asin(ωx+φ)圖象特征求頻率ω和初相φ的各類題型用圖思考的思維方法.
關鍵詞:高考壓軸題;用圖思考;區間長度
中圖分類號:G632文獻標識碼:A文章編號:1008-0333(2020)22-0029-03
2016年新課標一卷理12題:
已知函數f (x)=sin(ωx+φ)(SymbolwA@
>0,|SymboljA@
|≤π2),x=-π4為f(x)的零點,x=π4為y=f(x)圖象的對稱軸,且f(x)在(π18,5π36)單調,則ω的最大值為().
A.11B.9C.7D.5
本題作為選擇題中的最后一題,也稱選擇壓軸題,是區分度題高的題之一.它考查了y=Asin(wx+φ)的函數圖象變化對參數A,ω,φ的影響,即考查了函數的單調性、對稱性、周期性的綜合運用,需要較高的綜合能力,也就深受各地統考模擬題的青睞.一般思路是計算出來:
解析?∵x=-π4為零點,f(-π4)=0,∴ω(-π4)+φ=nπ,n∈Z…①.
∵x=π4為對稱軸,f(π4)=SymbolqB@
1,∴ω×π4+φ=n′π+π2,n′∈Z…②.
∴②-①得ω×π2=(n′-n)π+π2=kπ+π2,k∈Z,即ω=2k+1,即ω為奇數.
∵f(x)在(π18,5π36)單調,∴(ω×5π36+φ)-(ω×π18+φ)≤(kπ+π2)-(kπ-π2)=SymbolpA@
,k∈Z,
即3π36ω≤π,∴ω≤12,故有奇數ω的最大值為11.
當ω=11時,11SymboltB@
(-π4)+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤π2,∴φ=-π4.
此時f(x)=sin(11x-π4)在(π18,5π36)上不單調,不滿足題意.
當ω=9時,9×(-π4)+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤π2,∴φ=π4.
此時f(x)=sin(9x+π4)在(π18,5π36)上單調遞減,滿足題意.
故ω的最大值為9,答案選B.
本題實際上就是已知函數圖象,求系數ω、φ,如果題型方法溯源的話,就是初中求函數解析式的方法——待定系數法(或代點法),把已知點代入后得系數組成的方程組,解之得.這是一種基本數學方法.作為選擇題中的壓軸題,考試時像上面解法一樣,中規中矩把它算出來當然好,可是,考場上有那么多時間嗎?況且本身就是考查學生的綜合能力,既然是考查函數圖象,就可以用圖象思考:
思維分析?求ω的最大值就是求周期T=2πω最小值,由于y=Asin(ωx+φ)每一個單調區間長度恰好就是半個周期πω,也就是求單調區間長度的最小值.
解析?在(π18,5π36)單調,為使單調區盡可能短,則在區間(5π36,π4=9π36)內可以插入一個對稱點,且兩側單調性相反,在x=π18左側的對稱軸x=a與對稱軸x=π4組成一個完整周期.∵x=-π4為f(x)的零點,這樣區間[-π4,π4]的圖象如圖1所示:最多只能畫4.5個單調區間,所以區間[-π4,π4]的長度π4-(-π4)=4.5SymboltB@
πω,ω=9,答案選B.
用圖思考,三下五除二非常簡潔地將ω求出來了,這不就是我們所要求掌握的思維方式嗎?這也是我們數學學科的核心素養——直觀想象.下面就求y=sin(ωx+φ)中的ω的題型分類例說.
一、已知兩關鍵點(零點或對稱軸)及在某區間單調求ω
例1?已知函數f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π2),f(-π3)=0,f(2π3-x)=f(x),且f(x)在區間(π12,π4)上單調,則ω的最大值為().
A.274B.214C.154D.94
解析?由已知x=-π3為零點,x=π3是對稱軸,而區間(π4,π3)長度小于(π12,π4)長度,所以在x=π4到x=π3之間不能插入一個對稱軸點,只能繼續單調,所以(π12,π3)上單調,區間[-π3,π3]的圖象如圖3所示:最多只能畫2.5個單調區間,所以區間長度π3-(-π3)=2.5SymboltB@
πω,ω=154,所以選C.
說明:由兩關鍵點之間畫出單調區間的個數是解此題的關鍵.
例2?函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)是R上的偶函數,其圖象關于點M(34π,0)對稱,且在區間[0,π2]上是單調函數,則φ=,ω=.
解析?為偶函數,f(0)=f(φ)=SymbolqB@
1,∵0<φ<SymbolpA@
,∴φ=π2.f(x)在[0,π2]上單調繼續至M(如圖3虛線)或拐至M(實線),得到了函數的單調區間長度,計算得ω=23或ω=2.
說明:難點是f(x)在[0,π2]上單調繼續至M還是拐至M.
例3?設函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常數,A>0,ω>0).若f(x)在區間[π6,π2]上具有單調性,且f(π2)=f(2π3)=-f(π6),則f(x)的最小正周期為.
解析?由f(π2)=-f(π6)得零點是(π3,0),由f(π2)=f(2π3)得對稱軸x=712π,由在區間[π6,π2]上具有單調性,必然單調至對稱軸x=712π(如圖5),所以區間(π3,712π)長度是f(x)的14T,T=4SymboltB@
(7π12-π3)=SymbolpA@
.
說明:兩自變量函數值相反,中間點就是零點,兩自變量函數值相等,中間點就是對稱軸.
二、由一個關鍵點及在某區間單調求ω
例4?已知f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)f(π6)=f(π3),且f(x)在區間(π6,π3)有最小值,無最大值,則ω=.
解析?由已知f(x)關于x=π4對稱且是最小值點(如圖6),ω×π4+π3=3π2+2kπ,解得ω=143+8k(k∈Z),無最大值,單調增區間長度πω>π3-π4=π12,得ω<12,故ω=143.
說明:在某區間單調,不能確定函數的單調區間長度,只能得到單調區間長度的一個范圍,從得到ω的
范圍.
三、由函數在某區間單調求ω
例5?已知ω>0,函數f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)上單調遞減,則ω的取值范圍是.
解析?f(0)=22,且x>0時開始單增,由于單調區間長度d≥SymbolpA@
-π2=π2,所以在(0,π2)內只能插入一個最大值點(如圖7),∴π2≤(ω×π2+π4)且(ωSymbolpA@
+π4)≤3π2.算得12≤ω≤54.
說明:“五點作圖”知y=sin(ωx+φ)右邊最靠近y軸的減區間是由π2≤(ωx+φ)≤3π2計算而得的.
四、由關鍵點確定增減區間
例6?已知函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),f(π6)=f(5π6)=0,且f(x)在區間(π2,7π6)無最值,則f(x)的單調遞增區間為()
A.[4kπ3-π6,4kπ3+π2](k∈Z)
B.[kπ3-π6,kπ3+π2](k∈Z)
C.[4kπ3-π3,4kπ3+2π3](k∈Z)
D.[kπ3-π3,kπ3+2π3](k∈Z)
解析?由兩零點距離及單調區間長度知:兩零點相鄰,對稱軸為x=π2及周期T=4π3(如圖8).若兩零點之間圖象是下凸(虛線),初始點為x=-π2;若上凸(實線),初始點為x=π6,由|φ|=|-ωx|=|-32×π6|=π4符合要求,故上凸,增區間為x=π2的左側,選A.
說明:重視“五點法”作圖中五個點的相互位置及增減性.
練習:(為了鞏固,給出幾個練習供選用)
1.已知函數f(x)=sinωx(ω>0)的圖象關于點(2π3,0)對稱,且f(x)在[0,π4]上為增函數,則ω=(?A?).
A.32B.3C.92D.6
2.若函數f(x)=sinωx(ω>0)在區間[0,π3]上單調遞增,在區間[π3,π2]上單調遞減,則ω=(?B?).
A.23
B.32
C.2D.3
3.已知函數y=2cos2ωx-2sinωxcosωx(ω>0)在區間[0,π8]上是單調函數,則正整數ω的值為ω=1或ω=3.
4.已知函數f(x)=sin(2x+φ),其中φ為實數,若f(x)≤|f(π6)|對x∈R恒成立,且f(π2)>f(π),則f(x)的單調遞增區間是(?C?).
A.kπ-π3,kπ+π6(k∈Z)
B.kπ,kπ+π2(k∈Z)
C.kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z)
D.kπ-π2,kπ(k∈Z)
只有真正理解了y=Asin(ωx+φ)的圖象特征才能靈活地解決它的圖象問題,反過來靈活運用圖象牲特征解題又能加深對三角函數圖象的理解,提升我們的直觀想象素養,在以素養導向的高考中取得優異成績.
參考文獻:
[1]嚴娟.2019年高考數學試題壓軸題分析[J].中學課程輔導(教師教育),2019(24):71+74.
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