用圖思考求ω

李定平

摘?要：對一道高考選擇壓軸題的解法進行了探究，得到用圖思考求ω比計算更為快捷，說明了已知三角函數y =Asin（ωx+φ）圖象特征求頻率ω和初相φ的各類題型用圖思考的思維方法.

關鍵詞：高考壓軸題;用圖思考;區間長度

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0029-03

2016年新課標一卷理12題：

已知函數f （x）=sin（ωx+φ）（SymbolwA@

>0，|SymboljA@

|≤π2），x=-π4為f（x）的零點，x=π4為y=f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（π18，5π36）單調，則ω的最大值為（）.

A.11B.9C.7D.5

本題作為選擇題中的最后一題，也稱選擇壓軸題，是區分度題高的題之一.它考查了y=Asin（wx+φ）的函數圖象變化對參數A，ω，φ的影響，即考查了函數的單調性、對稱性、周期性的綜合運用，需要較高的綜合能力，也就深受各地統考模擬題的青睞.一般思路是計算出來：

解析?∵x=-π4為零點，f（-π4）=0，∴ω（-π4）+φ=nπ，n∈Z…①.

∵x=π4為對稱軸，f（π4）=SymbolqB@

1，∴ω×π4+φ=n′π+π2，n′∈Z…②.

∴②-①得ω×π2=（n′-n）π+π2=kπ+π2，k∈Z，即ω=2k+1，即ω為奇數.

∵f（x）在（π18，5π36）單調，∴（ω×5π36+φ）-（ω×π18+φ）≤（kπ+π2）-（kπ-π2）=SymbolpA@

，k∈Z，

即3π36ω≤π，∴ω≤12，故有奇數ω的最大值為11.

當ω=11時，11SymboltB@

（-π4）+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤π2，∴φ=-π4.

此時f（x）=sin（11x-π4）在（π18，5π36）上不單調，不滿足題意.

當ω=9時，9×（-π4）+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤π2，∴φ=π4.

此時f（x）=sin（9x+π4）在（π18，5π36）上單調遞減，滿足題意.

故ω的最大值為9，答案選B.

本題實際上就是已知函數圖象，求系數ω、φ，如果題型方法溯源的話，就是初中求函數解析式的方法——待定系數法（或代點法），把已知點代入后得系數組成的方程組，解之得.這是一種基本數學方法.作為選擇題中的壓軸題，考試時像上面解法一樣，中規中矩把它算出來當然好，可是，考場上有那么多時間嗎？況且本身就是考查學生的綜合能力，既然是考查函數圖象，就可以用圖象思考：

思維分析?求ω的最大值就是求周期T=2πω最小值，由于y=Asin（ωx+φ）每一個單調區間長度恰好就是半個周期πω，也就是求單調區間長度的最小值.

解析?在（π18，5π36）單調，為使單調區盡可能短，則在區間（5π36，π4=9π36）內可以插入一個對稱點，且兩側單調性相反，在x=π18左側的對稱軸x=a與對稱軸x=π4組成一個完整周期.∵x=-π4為f（x）的零點，這樣區間[-π4，π4]的圖象如圖1所示：最多只能畫4.5個單調區間，所以區間[-π4，π4]的長度π4-（-π4）=4.5SymboltB@

πω，ω=9，答案選B.

用圖思考，三下五除二非常簡潔地將ω求出來了，這不就是我們所要求掌握的思維方式嗎？這也是我們數學學科的核心素養——直觀想象.下面就求y=sin（ωx+φ）中的ω的題型分類例說.

一、已知兩關鍵點（零點或對稱軸）及在某區間單調求ω

例1?已知函數f（x）=3sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ≤π2），f（-π3）=0，f（2π3-x）=f（x），且f（x）在區間（π12，π4）上單調，則ω的最大值為（）.

A.274B.214C.154D.94

解析?由已知x=-π3為零點，x=π3是對稱軸，而區間（π4，π3）長度小于（π12，π4）長度，所以在x=π4到x=π3之間不能插入一個對稱軸點，只能繼續單調，所以（π12，π3）上單調，區間[-π3，π3]的圖象如圖3所示：最多只能畫2.5個單調區間，所以區間長度π3-（-π3）=2.5SymboltB@

πω，ω=154，所以選C.

說明：由兩關鍵點之間畫出單調區間的個數是解此題的關鍵.

例2?函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π）是R上的偶函數，其圖象關于點M（34π，0）對稱，且在區間[0，π2]上是單調函數，則φ=，ω=.

解析?為偶函數，f（0）=f（φ）=SymbolqB@

1，∵0<φ<SymbolpA@

，∴φ=π2.f（x）在[0，π2]上單調繼續至M（如圖3虛線）或拐至M（實線），得到了函數的單調區間長度，計算得ω=23或ω=2.

說明：難點是f（x）在[0，π2]上單調繼續至M還是拐至M.

例3?設函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數，A>0，ω>0）.若f（x）在區間[π6，π2]上具有單調性，且f（π2）=f（2π3）=-f（π6），則f（x）的最小正周期為.

解析?由f（π2）=-f（π6）得零點是（π3，0），由f（π2）=f（2π3）得對稱軸x=712π，由在區間[π6，π2]上具有單調性，必然單調至對稱軸x=712π（如圖5），所以區間（π3，712π）長度是f（x）的14T，T=4SymboltB@

（7π12-π3）=SymbolpA@

.

說明：兩自變量函數值相反，中間點就是零點，兩自變量函數值相等，中間點就是對稱軸.

二、由一個關鍵點及在某區間單調求ω

例4?已知f（x）=sin（ωx+π3）（ω>0）f（π6）=f（π3），且f（x）在區間（π6，π3）有最小值，無最大值，則ω=.

解析?由已知f（x）關于x=π4對稱且是最小值點（如圖6），ω×π4+π3=3π2+2kπ，解得ω=143+8k（k∈Z），無最大值，單調增區間長度πω>π3-π4=π12，得ω<12，故ω=143.

說明：在某區間單調，不能確定函數的單調區間長度，只能得到單調區間長度的一個范圍，從得到ω的

范圍.

三、由函數在某區間單調求ω

例5?已知ω>0，函數f（x）=sin（ωx+π4）在（π2，π）上單調遞減，則ω的取值范圍是.

解析?f（0）=22，且x>0時開始單增，由于單調區間長度d≥SymbolpA@

-π2=π2，所以在（0，π2）內只能插入一個最大值點（如圖7），∴π2≤（ω×π2+π4）且（ωSymbolpA@

+π4）≤3π2.算得12≤ω≤54.

說明：“五點作圖”知y=sin（ωx+φ）右邊最靠近y軸的減區間是由π2≤（ωx+φ）≤3π2計算而得的.

四、由關鍵點確定增減區間

例6?已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，|φ|≤π2），f（π6）=f（5π6）=0，且f（x）在區間（π2，7π6）無最值，則f（x）的單調遞增區間為（）

A.[4kπ3-π6，4kπ3+π2]（k∈Z）

B.[kπ3-π6，kπ3+π2]（k∈Z）

C.[4kπ3-π3，4kπ3+2π3]（k∈Z）

D.[kπ3-π3，kπ3+2π3]（k∈Z）

解析?由兩零點距離及單調區間長度知：兩零點相鄰，對稱軸為x=π2及周期T=4π3（如圖8）.若兩零點之間圖象是下凸（虛線），初始點為x=-π2;若上凸（實線），初始點為x=π6，由|φ|=|-ωx|=|-32×π6|=π4符合要求，故上凸，增區間為x=π2的左側，選A.

說明：重視“五點法”作圖中五個點的相互位置及增減性.

練習：（為了鞏固，給出幾個練習供選用）

1.已知函數f（x）=sinωx（ω>0）的圖象關于點（2π3，0）對稱，且f（x）在[0，π4]上為增函數，則ω=（?A?）.

A.32B.3C.92D.6

2.若函數f（x）=sinωx（ω>0）在區間[0，π3]上單調遞增，在區間[π3，π2]上單調遞減，則ω=（?B?）.

A.23

B.32

C.2D.3

3.已知函數y=2cos2ωx-2sinωxcosωx（ω>0）在區間[0，π8]上是單調函數，則正整數ω的值為ω=1或ω=3.

4.已知函數f（x）=sin（2x+φ），其中φ為實數，若f（x）≤|f（π6）|對x∈R恒成立，且f（π2）>f（π），則f（x）的單調遞增區間是（?C?）.

A.kπ-π3，kπ+π6（k∈Z）

B.kπ，kπ+π2（k∈Z）

C.kπ+π6，kπ+2π3（k∈Z）

D.kπ-π2，kπ（k∈Z）

只有真正理解了y=Asin（ωx+φ）的圖象特征才能靈活地解決它的圖象問題，反過來靈活運用圖象牲特征解題又能加深對三角函數圖象的理解，提升我們的直觀想象素養，在以素養導向的高考中取得優異成績.

參考文獻：

[1]嚴娟.2019年高考數學試題壓軸題分析[J].中學課程輔導（教師教育），2019（24）：71+74.

[責任編輯：李?璟]