例談條件極值在多元函數最值問題中的應用

余鐵青

摘?要：在高考和競賽中有一類多元函數問題，用中學數學知識難以處理，也直接導致了得分率低的事實.本文借助高等數學中的條件極值以及拉格朗日乘數法研究了此類問題，并得到了相關問題函數模型.其基本問題模型可表述為：若實數x1，x2，x3，...滿足若干限制條件，求關于x1，x2，x3...新的函數的最值問題模型.

關鍵詞：多元函數;條件極值;拉格朗日乘數法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0005-02

一、引言

筆者最近在統計高考數學考點時經常發現多元函數在考查，并且在近幾年的全國數學聯賽預賽中考查頻率較高.而實際情況是大部分考生做慣了單變量的函數最值問題，一般容易聯想到運用代入法，換元法或者導數的方法進行處理，但通過實際運算發現用這種方法處理起來是十分困難的.在高考數學考試大綱里面明確要求要考生進一步培養的潛質，這也導致了大學部分學習的內容滲透到高中進行隱蔽性的考查.這就直接導致了高考數學和競賽數學中越來越多的考查學生遷移發現的能力.筆者基于此去翻閱了華東師范大學數學系主編的數學分析教材，發現我們利用條件極值和拉格朗日乘數法來解決多元函數最值問題是行之有效的.假如不與學生介紹此類做法會導致大家運用常規的方法進行處理，效率十分低下，得分少，甚至不得分.那么我們系統性，程序性地處理這類問題就顯得很有必要了.

二、基本概念介紹

1.偏導數

二元函數當固定其中一個自變量時，它對另一個自變量的導數稱為偏導數，定義如下：

設二元函數z=fx，y，x，y∈D，若x0，y0∈D，且fx，y0在x0的某一鄰域內有定義，則當極限

limΔx→0Δxfx0，y0Δx=limΔx→0fx0+Δx，y0-fx0-y0Δx

存在時，稱這個極限為函數f在x0，y0關于x的偏導數，記作fxx0，y0或zxx0，y0，fxx0，y0，fxx0，y0.

同樣定義f在點x0，y0關于y的偏導數fyx0，y0或fyx0，y0.

2.拉格朗日乘數法（Lagrange multiplier）

求目標函數z=fx，y在約束條件φx，y=0下的極值，

構造：拉格朗日函數Lx，y，λ=fx，y+λφx，y，其中λ是待定系數，則極值點就在方程組fxx，y+λφx，y=0，fyx，y+λφx，y=0，φx，y=0的解x0，y0，λ所對應的點x0，y0.

3.黑塞矩陣（Hessian Matrix）

我們稱x0，y0為穩定點，再根據黑塞矩陣正定，負定來判定是極大值點還是極小值點.

三、真題應用

例1?（自變量無限制條件題型）

若x，y∈R，求f（x，y）=x2+2xy+4y2+x+2y的最小值.

引理?（截取）在二元二次函數

fx，y=ax2+2bxy+cy2+dx+ey+g中，設Δ=ac-b2，則有：

若Δ>0，當a>0時，fx，y在點px0，y0取到最小值.

解?令fxx，y=2x+2y+1=0，fyx，y=2x+8y+2=0

x=-13，y=-16.

代入求得fminx，y=-13

對比引理，此題中a=1，b=1，c=4，顯然Δ=ac-b2=3>0，所以解答正確.

說明?完整引理來源于1990年昭通師專（現昭通學院）數學系教師饒克勇老師發表的《二元二次函數的極值公式》）

例2?（自變量有限制型題型）

（浙江2014年高考題文科）已知實數a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為.

解?構造拉格朗日函數：

La，b，c，λ，μ=a+λa+b+c+μa2+b2+c2-1，

∴La=1+λ+2μa=0，Lb=λ+2μb=0，Lc=λ+2μc=0，Lλ=a+b+c=0，Lμ=a2+b2+c2-1=0.解得a=±63，b=66，c=66，λ=±13，μ=66.

∴a的最大值是63.

例3?（2018年的全國高中數學聯合競賽四川省初賽第14題）設x，y，z為正實數，求（x+1y+2）（y+1z+2）（z+1x+2）的最小值.

方法1?（常規法）

記T=（x+1y+2）（y+1z+2）（z+1x+2），

當x=y=z=1時，T=20+142.

下證T≥20+142.

由均值不等式顯然有

T≥2xy+22yz+22zx+2

=8+42xz+zy+yx

+4xy+yz+zx+22

≥8+42×33xz·zy·yx+4

×33xy·yz·zx+22

=8+42×3+4×3+22=20+142.

顯然這種做法很難想到，尤其是第一步為什么要取三個自變量相等且同時為1.

方法2?（偏導法）

記T（x，y，z）=（x+1y+2）（y+1z+2）（z+1x+2），

Txx，y，z=0，Ty（x，y，z）=0Tz（x，y，z）=0x=y=z=1.

代入求得Tmin=20+142.

對比發現這樣處理起來遠比利用不等式簡單，而且輻射面擴大，能夠較好地照顧到基礎中等的同學.

寫在最后：很多一線教師抱怨高等數學內容的學習對于中學的教學沒有太大的作用，實際上是因為沒有真正把兩者進行比對分析，發現內在的必然聯系，才造成認為高等數學在初等數學里面沒有應用的錯覺.筆者認為必須在教學中要經常反思，以促成教師掌握以高觀點的角度看問題的思維意識和情感態度.

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析（第四版上冊）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]呂榮春.高觀點下函數壓軸題的系統性解讀[M].成都：電子科技大學出版社，2017.

[3]饒克勇.二元二次函數的極值公式[J].昭通師范高等專科學校學報，1999（02）：19-21.

[責任編輯：李?璟]