求解一對解三角形中的最值問題

摘?要：文首的題目（1）是網絡、雜志中頻繁出現的一類解三角形中的最值問題的一般情形，其逆問題也值得研究.文章給出了這一對解三角形中的最值問題的完整解答，其中建系解法新穎簡潔.

關鍵詞：解三角形;最值;逆問題;解答

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0007-02

題目?設△ABC的三邊長分別是a，b，c，p，q，r均是已知數且q+r>0，pq+pr+qr>0.

（1）若pa2+qb2+rc2=s，則△ABC面積的最大值為;

（2）若△ABC的面積是S，則pa2+qb2+rc2的最小值為.

解法1?設△ABC的長為c的邊所對的角是C.由q+r>0，pq+pr+qr>0，可得（p+r）（q+r）=pq+pr+qr+r2>r2≥0，p+r>0.

（1）s4pq+pr+qr.設△ABC的面積為S，由S=12absinC，可得2ab=4SsinC.

由余弦定理及均值不等式，可得

s=pa2+qb2+rc2=pa2+qb2+r（a2+b2-2abcosC）

=（p+r）a2+（q+r）b2-2abrcosC≥2ab[（p+q）（q+r）-rcosC]

（當且僅當（p+r）a2=（q+r）b2時取等號），

所以s≥4SsinC[（p+q）（q+r）-rcosC]，

ssinC+4rScosC≥4S（p+q）（q+r）.

又因為s2+16r2S2≥ssinC+4rScosC（當且僅當

scosC=4rsinC（C是銳角）時取等號）.

所以s2+16r2S2≥4S（p+q）（q+r）

S≤s4pq+pr+qr

還可得當且僅當（p+r）a2=（q+r）b2，scosC=4rSsinC（C是銳角）pa2+qb2+rc2=s

時，Smax=s4pq+pr+qr.

即當且僅當（p+r）a2=（q+r）b2，s·a2+b2-c22ab=4r·s4pq+pr+qrsinC（C是銳角），pa2+qb2+rc2=s，也即

（p+r）a2=（q+r）b2，a2+b2-c22ab=rpq+pr+qrsinC（C是銳角），pa2+qb2+rc2=s，

（p+r）a2=（q+r）b2（a2+b2-c22ab）2

=r2pq+qr+rp

[1-（a2+b2-c22ab）2]（a+b2+c2），

（p+r）a2=（q+r）b2，a2+b2-c22ab=rpq+pr+qr，pa2+qb2+rc2=s，

（a，b，c）=（s（q+r）2（pq+pr+qr），s（p+r）2（pq+pr+qr），s（p+q）2（pq+pr+qr））

時，Smax=s4pq+pr+qr.

（2）4Spq+pr+qr.設s=pa2+qb2+rc2.同（1）的解答，可得

s≥4SsinC[（p+r）（q+r）-rcosC]

（當且僅當（p+r）a2=（q+r）b2時取等號），

ssinC+4rScosC≥4S（p+r）（q+r）.

又因為s2+16r2S2≥ssinC+4rScosC（當且僅當scosC=4rScosC（C是銳角）時取等號），

所以s2+16r2S2≥4S（p+r）（q+r），

s≥4Spq+pr+qr.

還可得當且僅當

（p+r）a2=（q+r）b2，4Spq+pr+qrcosC=4rSsinC（C是銳角）pa2+qb2+rc2=4Spq+pr+qr，時，

smin=4Spq+pr+qr.

即當且僅當

（p+r）a2=（q+r）b2，（pq+pr+qr）cos2C=r2（1-cos2C）（C是銳角），pa2+qb2+rc2=4Spq+pr+qr，也即

（p+r）a2=（q+r）b2，a2+b2-c22ab=r（p+r）（q+r），pa2+qb2+rc2=4Spq+pr+qr，

（a，b，c）=2S（q+r）pq+pr+qr，2S（p+r）pq+pr+qr，2S（p+q）pq+pr+qr時，smin=4Spq+pr+qr.

解法2?設BC=a，CA=b，AB=c，△ABC的面積為S.

可如圖1所示建立平面直角坐標系xBy，并可設A（x1，y1）（y1>0），C（x2，0）（x2>0），得S=12x2y1，x2y1=2S.

（1）s4pq+pr+qr.

由兩點間距離公式，可得

s=pa2+qb2+rc2=px22+q[（x1-x2）2+y21]+r（x21+y21）

=（q+r）x1-qq+rx22+pq+pr+qrq+rx22+（q+r）y21

≥pq+pr+qrq+rx22+（q+r）y21≥2pq+pr+qrx2y1=4Spq+pr+qr

所以S≤s4pq+pr+qr，當且僅當

x1=qq+rx2，pq+pr+qrq+rx22=（q+r）y21（x2>0），12x2y1=s4pq+pr+qr，

即x1=qs2（q+r）（pq+pr+qr），x2=s（q+r）2（pq+pr+qr），y1=s2（q+r），

也即a=s（q+r）2（pq+pr+qr），b=s（p+r）2（pq+pr+qr），c=s（p+q）2（pq+pr+qr）時，Smax=s4pq+pr+qr.

（2）4Spq+pr+qr.設s=pa2+qb2+rc2.同（1）的解答，可得s≥4Spq+pr+qr，所以當且僅當x1=qq+rx2，pq+pr+qrq+rx22=（q+r）y21（x2>0），x2y1=2S，

即x1=q2S（q+r）pq+pr+qr，x2=2S（q+r）pq+pr+qr，y1=2Spq+pr+qrq+r，

也即a=2S（q+r）pq+pr+qr，b=2S（p+r）pq+pr+qr，c=2S（p+q）pq+pr+qr，時，smin=4Spq+pr+qr.

參考文獻：

[1]甘志國.例談用三角換元法解題[J].數理化學習（高中版），2018（11）：6-9.

[責任編輯：李?璟]