一道2019年浙江大學(xué) 自主招生試題的解法探究和推廣

宋磊

摘?要：本文通過(guò)對(duì)一道2019年浙江大學(xué)自主招生試題的多角度觀察、思考，從而引發(fā)出多種求解方法，對(duì)提高學(xué)生思維水平、培養(yǎng)解題能力有較好的促進(jìn)作用，最后對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行推廣，對(duì)提升學(xué)生的探究水平和探究意識(shí)大有好處.

關(guān)鍵詞：自主招生;解法探究;三倍角

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）22-0069-02

一、真題再現(xiàn)

（2019年浙江大學(xué)自主招生試題）已知α=π7，求cosα-cos2α+cos3α.

二、解法探究

解法1?cosα-cos2α+cos3α=cosπ7-cos2π7+cos3π7=cosπ7+cos3π7+cos5π7.

令b=cosπ7+cos3π7+cos5π7，則

2bsinπ7=2sinπ7cosπ7+2sinπ7cos3π7+2sinπ7cos5π7.由積化和差公式可知，2bsinπ7=sin2π7+sin4π7-sin2π7+sin6π7-sin4π7=sin6π7，所以，b=12.故cosα-cos2α+cos3α=12.

解法2?cosα-cos2α+cos3α

=cosπ7-cos2π7+cos3π7

=2cosπ14cosπ7-2cosπ14cos2π7+2cosπ14cos3π72cosπ14

=（cos3π14+cosπ14）-（cos5π14+cos3π14）+（cos7π14+cos5π14）2cosπ14

=cosπ2+cosπ142cosπ14

=12.

解法3?cosα-cos2α+cos3α

=cosπ7-cos2π7+cos3π7

=cosπ7+cos3π7+cos5π7

=2sinπ7（cosπ7+cos3π7+cos5π7）2sinπ7

=sin2π7+2sinπ7cos3π7+2sinπ7cos5π72sinπ7

=sin2π7+（sin4π7-sin2π7）+（sin6π7-sin4π7）2sinπ7

=sin6π72sinπ7

=12.

解法4?利用三倍角正余弦公式，即sin3α=3sinα-4sin3α.

cosα-cos2α+cos3α

=cosπ7-cos2π7+cos3π7

=（cosπ7+cos5π7）+cos3π7

=2cos3π7cos2π7+cos3π7

=cos3π7（2cos2π7+1）

=cos3π7（3-4sin2π7）

=cos3π7（3sinπ7-4sin3π7）sinπ7

=cos3π7sin3π7sinπ7

=12sin6π7sinπ7

=12.

解法5?構(gòu)造方程，令t=cosπ7-cos2π7+cos3π7=cosπ7+cos3π7+cos5π7，則t2=cos2π7+cos23π7+cos25π7+2cosπ7cos3π7+2cosπ7cos5π7+2cos3π7cos5π7.

故t2=32+cos2π7+cos6π7+cos10π72+2（cos2π7+cos4π7+cos6π7），即

t2=32+52（cos2π7+cos4π7+cos6π7）

=32-52（cosπ7+cos3π7+cos5π7）

于是，t2=32-52t，解得t=12或t=-3（舍），故cosα-cos2α+cos3α=12.

解法6?構(gòu)造復(fù)數(shù)，令z=cosπ7+isinπ7.于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求u=z+z2+z5的實(shí)部.z7=cosπ+isinπ=-1，z·z-=1，z+z-=2cosπ7，所以

u=（cosπ7+cos3π7+cos5π7）+i（sinπ7+sin3π7+sin5π7）.又

u=z+z3+z5=z-z71-z2=z+1（1-z）（1+z）

=11-z=1-z-（1-z）（1-z-）

=1-cosπ7+i·sinπ71+z·z--（z+z-）

=1-cosπ7+i·sinπ72（1-cosπ7）

=12+sinπ72（1-cosπ7）i

所以，cosα-cos2α+cos3α=Re（u）=12.

三、推廣探究

推廣1?當(dāng)k=1，3，5時(shí)，coskπ7+cosk3π7+cosk5π7=12.

推廣2?設(shè)n∈N*，則cos12n+1π+cos32n+1π+…+cos2n-12n+1π=12.

推廣3?設(shè)n∈N*，cos22n+1π+cos42n+1π+…+cos2n2n+1π=-12.

推廣4?設(shè)n∈N*，cos12n+1π+cos22n+1π+…+cos2n2n+1π=0.

四、總結(jié)思考

在平時(shí)的教育教學(xué)活動(dòng)中，我們師生要樹(shù)立先解決一個(gè)題，再試圖解決一類題的意識(shí)和想法，不能就題論題.要重視蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“思維價(jià)值”，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).教師要引導(dǎo)學(xué)生積極思考探索，啟發(fā)學(xué)生如何思考和探索問(wèn)題，讓其學(xué)會(huì)思考.

參考文獻(xiàn)：

[1]袁震東.高級(jí)中學(xué)課本數(shù)學(xué)高中一年級(jí)第二學(xué)期（試用本）[M].上海：上海教育出版社，2008.

[2]袁震東.高級(jí)中學(xué)課本數(shù)學(xué)練習(xí)部分高中一年級(jí)第二學(xué)期（試用本）[M].上海：上海教育出版社，2008.

[責(zé)任編輯：李?璟]