巧用“裂項”構造導數定義求不定式極限

紀定春

摘?要：導數是高中數學的核心概念，在高考數學中具有廣泛而重要的應用價值.通過“裂項”構造導數定義，對近年高考數學中出現的求“不定式”極限試題進行解析與評注.

關鍵詞：高考數學;不定式極限;導數定義;裂項

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0002-03

一、導數定義與不定式極限簡介

導數是高中重要的知識模塊，是高中數學學習的重點和難點.目前，大部分高中數學教師并不重視對數學概念的教學，正如章建躍先生所講：“當下的概念課教學多是一種走‘形式化’的過程，以解題教學代替概念教學的現象比較普遍.”不僅僅是數學概念的教學已經“形式化”，而是對數學本質的學習已大幅度削弱，如對數學中的定義、定理、命題、推理等的學習.大部分的數學教學都是知識講解與解題訓練相結合，這對短期內提升學生學習成績是有意義的，但是從長遠來看，勢必會嚴重阻礙學生數學思維的發展，應該值得深思.接下來，將對導數的定義和不定式極限作簡單的介紹.

導數定義?設函數y=f（x）在x=x0處的瞬時變化率為

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx.

則稱它是函數y=f（x）在x=x0處的導數，記作y=f ′（x0），即

f ′（x0）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx.

這就是函數定義在點x=x0處的導數.

不定式極限?若函數f和g滿足：

（1）當limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=0;（2）limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=∞.

求（1）或（2）中limx→x0f（x）g（x）極限，或可化為上述極限的，簡稱不定式極限.

注意?可以將x→x0換成x→x+0、x→x-0、x→±∞、x→∞，都是不定式極限，此處不再給出.

二、巧用“裂項”構造導數定義求不定式極限

1.含參數恒成立問題

例1?（2016年四川高考理科卷第21題）設函數

f（x）=ax2-a-lnx，其中a∈R.

（1）略;

（2）確定a的所有可能取值，使得f（x）>1x-e1-x在區間（1，+∞）內恒成立（e=2.718…為自然對數的底數）.

解析?問題（1）解答，略.

對問題（2），求f（x）>1x-e1-x在區間（1，+∞）恒成立時，a的取值范圍，等價求ax2-a-lnx>1x-e1-x在區間（1，+∞）恒成立時，a的取值范圍.

分離參數，可得a>x-1-e1-x+lnxx2-1.令g（x）=x-1-e1-x+lnxx2-1，要使得不等式在區間（1，+∞）恒成立，則需要a>g（x）max.

利用導數，可以研究函數g（x）的單調性和最值（極值）點，可得函數g（x）在區間（1，+∞）內單調遞減，故g（x）max=limx→1+g（x）=limx→1+x-1-e1-x+lnxx2-1.

因為limx→1+（x2-1）=0，limx→1+（x-1-e1-x+lnx）=0，所以該極限為不定式極限，此處考慮使用“裂項”法.

因為1x2-1=12（1x-1-1x+1），所以

limx→1+x-1-e1-x+lnxx2-1=12limx→1+（x-1-e1-x+lnxx-1-x-1-e1-x+lnxx+1）

=12limx→1+x-1-e1-x+lnxx-1-12limx→1+x-1-e1-x+lnxx+1.

顯然12limx→1+x-1-e1-x+lnxx+1=02=0，

故limx→1+g（x）=12limx→1+x-1-e1-x+lnxx-1.

令h（x）=x-1-e1-x+lnx，顯然h（1）=0.

則有12limx→1+x-1-e1-x+lnxx-1=12limx→1+h（x）-h（1）x-1.

由導數的定義可知，limx→1+g（x）=12limx→1+h′（x）=12.

于是a的取值范圍為[12，+∞）.

評注?該方法是巧用“裂項”法，將極限為零的分式結構裂項，把原極限問題轉化成正常極限和導數的定義，通過導數定義將分式結構極限問題專化成整式極限問題，利用導數定義作為橋梁，建立分式極限與整式極限之間的關系，充分體現了化歸與轉化思想.

2.求參數的最值問題

例2?（2015年北京高考數學理科卷第18題）已知函數f（x）=ln1+x1-x.

（1）略;（2）略;

（3）設實數k使得f（x）>k（x+x33）對x∈（0，1）恒成立，求k的最大值.

解析?問題（1）、（2）解答，略.對問題（3），當x∈（0，1）時，有x+x33>0恒成立，考慮分離參數k.由f（x）>k（x+x33），得ln1+x1-x>k（x+x33）.

因為ln1+x1-x=ln（1+x）-ln（1-x），所以分離參數k，可得k<ln（1+x）-ln（1-x）x+3-1x3.

令g（x）=ln（1+x）-ln（1-x）x+3-1x3，利用導數可以研究函數g（x）在區間x∈（0，1）上的單調性，可得函數g（x）在區間x∈（0，1）上為單調遞增函數.故k<g（x）min=limx→0+g（x）.

顯然，limx→0+[ln（1+x）-ln（1-x）]=0，limx→0+（x+3-1x3）=0.可知該極限為一個不定式極限，此處考慮使用“裂項”法構造導數定義來解決.

因為1x+3-1x3=1x-xx2+3，

所以limx→0+g（x）=limx→0+ln（1+x）-ln（1-x）（x+3-1x3）

=limx→0+（ln（1+x）-ln（1-x）x

-x[ln（1+x）-ln（1-x）]x2+3）.

顯然，limx→0+x[ln（1+x）-ln（1-x）]x2+3=0，所以limx→0+g（x）=limx→0+ln（1+x）-ln（1-x）x.

令函數h（x）=ln（1+x）-ln（1-x），則有h（0）=ln（1+0）-ln（1-0）=0.

所以limx→0+g（x）=limx→0+h（x）-h（0）x-0，該極限為函數h（x）在x=0處的導函數的定義.

故limx→0+g（x）=limx→0+h′（x）=h′（0）=2，即k的最大值為2.

評注?該方法巧用“裂項”法，將分母結構裂成兩項之差，然后構造導數定義，把不定式（分式）極限問題轉化成整式極限問題，展現了導數定義在求不定式極限問題中的重要作用和地位，充分地體現了化歸與轉化思想.

3.求參數的取值范圍

例3?（2015年山東理科數學第21題）設函數f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（1）略;（2）若x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍.

解析?問題（1）解答，略.對于問題（2），對x>0，f（x）≥0成立，等價對任意x>0，ln（x+1）+a（x2-x）≥0恒成立.考慮分離參數a，則需分類討論.

當x=1時，顯然有ln2+a（1-1）=ln2≥0，即a∈R.

當0<x<1時，分離參數可得a≤ln（1+x）x（1-x）.

當x>1時，分離參數可得a≥ln（1+x）x（1-x）.

令g（x）=ln（1+x）x（1-x），原問題等價轉化為求g（x）在0<x<1上的最小值與g（x）在x>1上的最大值.利用導數，可以研究函數g（x）的性質，可得函數g（x）在0<x<1上單調遞增，故g（x）的最小值為limx→0+g（x）=limx→0+ln（1+x）x（1-x）.

函數g（x）在x>1上單調遞增，故g（x）的最大值為limx→+∞g（x）=limx→+∞ln（1+x）x（1-x）.

先研究g（x）的最小值.顯然，limx→0+ln（1+x）=0，limx→0+x（1-x）=0，該極限為不定式極限，此處考慮使用“裂項”法構造導數定義解決.

因為1x（1-x）=1x-1x-1，

所以limx→0+ln（1+x）x（1-x）

=limx→0+（1x-1x-1）ln（1+x）

=limx→0+ln（1+x）x-limx→0+ln（1+x）x-1.

顯然，可得limx→0+ln（1+x）x-1=0，

故limx→0+g（x）=limx→0+ln（1+x）x（1-x）=limx→0+ln（1+x）x.

令h（x）=ln（1+x），則h（0）=ln（1+0）=0.

即limx→0+ln（1+x）x=limx→0+h（x）-h（0）x-0=limx→0+h′（x）=1.

現在來看g（x）在x>1上的最大值，顯然limx→+∞g（x）=limx→+∞ln（1+x）x（1-x）=0.

綜上所述，參數a的取值范圍為[0，1].

評注?該方法巧用分類參數法和“裂項”法，將一個不定式極限問題轉化成可求極限的導數定義問題，降低了思維的難度，同時也說明高中數學教學要注重概念的教學.

例4?（2011年全國數學卷第21題）已知函數f（x）=alnxx+1+bx，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.

（1）略;

（2）如果當x>0，且x≠1時，f（x）>lnxx-1+kx，求k的取值范圍.

解析?問題（1）解答，略.對于問題（2），由問題（1）可知，a=1，b=1.

問題等價于當x>0，且x≠1時，lnxx+1+1x>lnxx-1+kx，求k的范圍.

分離參數k，可得k<-2xlnx+x2-1x2-1.

令g（x）=-2xlnx+x2-1x2-1，可得k<g（x）min.利用導數研究函數g（x）性質，可知函數g（x）的最小值在x=1處取得，所以g（x）min=limx→1g（x）.

由limx→1（x2-1）=0，limx→1（-2xlnx+x2-1）=0，可知limx→1g（x）為不定式極限，此處考慮用“裂項”法構造導數定義解決.

由1x2-1=12（1x-1-1x+1），可得

limx→1g（x）=12limx→1（1x-1-1x+1）（-2xlnx+x2-1）

=12limx→1-2xlnx+x2-1x-1-12limx→1-2xlnx+x2-1x+1.

因為12limx→1-2xlnx+x2-1x+1=0，所以

limx→1g（x）=12limx→1-2xlnx+x2-1x-1.

令g（x）=-2xlnx+x2-1，可得g（1）=0.

limx→1g（x）=12limx→1g（x）-g（1）x-1

=12limx→1g′（x）=0.

綜上所述，k的取值范圍為（-∞，0].

評注?該方法先分離參數，再用“裂項”法將不定式極限轉化成導數的定義，最后利用導數的定義將一個分式極限轉化成整式極限.

李邦河院士在獲得華羅庚數學獎的報告中就指出：“數學玩的是概念，而不是純粹的技巧.”在一些難題、技巧上下功夫，是一種舍本逐末的做法.數學概念作為學生數學生長發育的細胞，是建構數學大廈的基礎.數學概念的教學，是培養學生數學生長發育“干細胞”的教學，因此數學教學應該是注重數學概念的教學.導數的概念教學，要深度地剖析導數的定義內涵與外延、導數定義的構成要素、導數定義的結構等，讓學生深刻地理解導數的幾何意義與代數形式.

數學概念的教學應該是注重培養學生數學思維的教學，是數學方法、思想、精神的深度教學，而不是走“形式化”的解題教學.正如著名的數學家米山國臧所說：“縱然把數學知識忘記了，但數學的精神、思想、方法也會深深地銘刻在頭腦里.”數學知識是具體化的數學思想，數學思想方法是數學中的精華部分，掌握了數學的方法、思想和精神也就統領了數學知識.例如，在導數定義的教學過程中，應當讓學生體會分割的思想、極限（逼近）的思想、整體到局部的思想、從特殊到一般的思想等，讓學生的思維方式由靜態向動態轉變，感受無限的魅力，進而促進學生數學思維的發展.

參考文獻：

[1]章建躍，陶維林.概念教學必須體現概念的形成過程[J].數學通報，2010，49（10）：25-29，33.

[2]李邦河.數的概念的發展[J].數學通報，2009，48（8）：1-3，9.

[3]米山國藏.數學精神、思想和方法[M].成都：四川教育出版社，1986.

[責任編輯：楊惠民]