質點系動能定理例談

胡小波

摘?要：動能定理是中學物理中非常重要的一個定理，它能從功能角度很好的處理諸如變力做功、曲線運動以及多過程的復雜問題，中學物理教材中只給出了單個物體（或質點）的動能定理，但在平時的學習過程中經常涉及到質點系的動能問題，即質點系動能定理.

關鍵詞：質點系;質點系動能定理

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0088-03

日常生活中，我們通常會遇到這樣一個問題，題目

如下：

引例?人在水平面上走路（由靜到動）靠什么力對人做功引起人的動能的變化？

圖1

分析?如圖1所示， 人在水平面走路時，人腳相對于地面有向后的運動趨勢，因而人受到向前的靜摩擦力，但此摩擦力作用于人腳上并不產生位移，即人受到地面的靜摩擦力是不做功的，那為何人會獲得向前的速度和動能呢？這是因為此時的人是不可以看作質點的，而應當將人看作很多個質點組成的質點系，質點系的動能變化是由內外力做功的總和引起的，顯然人走路時外力對人不做功，那人的動能的變化必定是內力做功的結果，因此人走路時獲得的動能是人本身的內力（來源于人體的肌肉）做功的結果.

上例說明質點系動能的變化會受質點系的內力做功影響，那質點系的動能變化究竟與什么力做功相對應呢，質點系動能定理又如何？

一、質點系動能定理

（1）內容：質點系總動能的增量在數值上等于質點系所受一切外力和一切內力做功之和.

（2）表達式 ：∑A外+∑A內=∑Ek2-∑Ek1.

式中∑A外、∑A內分別表示質點系外力所做功總功之和及內力所做總功之和;∑EK2、∑EK1分別表示質點系的末態的總動能及初態的總動能.

從該定理可以看出，無論是系統的外力還是系統的內力，只要它們做功都必定會引起質點系的動能的變化.特別的，當質點系的內力不做功時（比如系統內的兩物體由不可伸長的繩或桿相連），即∑A內=0，表達式變為∑A外=∑EK2-∑Ek1，處理問題極其方便.

二、應用舉例

例1?如圖2所示，質量M的木塊套在光滑水平桿上，并用長為L的不可伸長的細線將木塊與質量m的小球相連，若從圖中豎直的虛線位置m小球受到一個水平的恒力F作用，由靜止開始運動，當細線拉到水平位置時如圖3所示，M木塊的位移是s，小球繞M木塊的角速度為ω，已知繩子長度為L，求出此時木塊速度？

圖2?圖3

分析?對于用細繩相連的小球和物塊構成的質點系，受力方面：物塊M和小球m由細線相連，細線對物塊M和小球m的拉力屬于質點系的內力且做功的代數和為零，質點系的外力有物塊受到的重力和支持力、以及小球受到的重力和水平恒力，顯然質點系的四個外力中，物塊受到的兩個力（重力和支持力）均不做功，小球受到的兩個力（重力和水平恒力）都做功.

質點系內物體速度方面：當小球運動至細線水平時（如圖3所示），M和m在桿方向速度為v，m在垂直桿方向速度為ωL，此過程M位移是s，m的位移是s+L，由質點系的動能定理得：

F（s+L）-mgL=12Mv2+12m（v2+ω2L2）-0

得到：v=2F（s+L）-mω2L2-mgLm+M

點評1?本例的質點系是繩及繩相連的物塊和球，繩不可伸長，系統內力做功代數和為零，處理時只考慮外力做功.

例2?如圖4所示，在豎直平面內固定一U型軌道，軌道兩邊豎直，底部是半徑為R的半圓，質量均為m的A、B兩小環，用長為R的輕桿連接在一起，套在U型軌道上，小環在軌道的豎直部分運動時受到的阻力均為環重的0.2倍，在軌道的半圓部分運動時不受任何阻力.現將A、B兩環從圖示位置由靜止釋放，釋放時A環距離底部2R，不考慮輕桿和軌道的接觸，重力加速度為g，求：A環在半圓部分運動過程中的最大速度.

圖4圖5

分析A環、B環與桿可以看成一質點系，受力方面：內力是桿對A、B環的作用力，很明顯內力做功且代數和為零;外力是A、B環的重力和豎直軌道對兩環的摩擦阻力及兩環運動到圓弧軌道時受到軌道的彈力，其中重力對它們做正功，阻力對其做負功，圓弧軌道的彈力不做功.

運動的速度方面：當A、B兩環均沿半圓軌道時，兩球的速度大小始終相等，則A環速度最大時整體的重心最低，此時輕桿水平（如圖5所示），重心在圓心的正下方，由幾何知識可得此時重心距圓心的距離OC為32R，由質點系動能定理得：WAG+WBG+WA阻+WB阻=12×2mv2-0

即mg（R+32R）+mg（2R+32R）-0.2mg×2R-0.2mg×R=12×2mv2-0代入數據可得v=（125+3）gR，所以A球的最大速度為v=（125+3）gR

點評2?本例中，輕桿不可伸長，由此相連接的兩物體在運動過程中質點系的內力對系統做功的代數和為零，所以只要考慮系統外力的功，使問題得以簡化.圖6圖7

例3?如圖6所示，質量分別為m和M的物塊A和B用不可伸長的細繩連接，A放在傾角為α的固定斜面上，B能沿桿在豎直方向上自由滑動，桿到滑輪中心的距離為L，開始時將B抬高到使細繩水平.求當B由靜止開始下落h時的速度.（滑輪和繩的質量及各種摩擦均不計）

分析?對A、B和輕繩構成的質點系統，從內力和外力方面來看，內力有繩對兩物塊的拉力，做功的代數和為零;外力有A 、B的重力及斜面和桿分別對A、B的彈力，外力中只有A、B的重力做功;從系統運動的速度角度看，A、B兩物塊通過細繩相連，B下落時速度可分解為沿繩方向的分速度v//和垂直于繩方向的分速度v⊥，B下滑時沿繩方向的分速度與A物塊速度相等，即vBcosθ=vA，vB·hL2+h2=vA如圖7所示.

由質點系動能定理可得：

WAG+WBG=12MvA2+12mv2B-0

解得：vB=2（L2+h2）Mgh-mgL2+h2-Lsinαmh2+ML2+h2

點評3?特別注意，繩和桿相連的物體，其各自沿繩或桿方向的速度大小一定相等.本例還可用系統的機械能守恒處理，這里不再贅述.不可伸長的繩和桿相連時，質點系內力做功為零，但并不是所有的質點系的內力做功代數和都為零.下面回到引例中提出的人在水平面起跳時質點系的動能問題.例4?如圖8所示，是被譽為“豪小子”的華裔球員林書豪在NBA賽場上投二分球時的照片.現假設圖8

林書豪準備投二分球前先曲腿下蹲再豎直向上躍起，已知林書豪的質量為m，雙腳離開地面時的

速度為V，從開始下蹲到躍起過程中重心上升的高度為h，則下列說法正確的是（）.

A. 從地面躍起過程中，地面對他所做的功為0

B. 從地面躍起過程中，地面對他所做的功為12mv2+mgh

C. 從下蹲到離開地面上升過程中，人所做的功為12mv2+mgh

D. 離幵地面后，他在上升過程中處于超重狀態;在下落過程中處于失重狀態

分析?本例是人從地面起跳問題，與引例中的人走路有相似之處，一者人都不可以看作質點，只能看作質點系;再者，地面作用在人腳的力（引例中是摩擦力，本例是支持力）都不做功; 從內外力上看，外力中的支持力不做功，重力做負功，內力（來自于人體）做正功，正由于內力做正功才引起了人的動能的增加，即人從下蹲到離開地面上升過程中是人的內力做功的結果，并不是地面對人的支持力做功的結果.

由質點系的動能定理可得：WG+W人=12mv2-0

即：-mgh+W人=12mv2-0

解得W人=12mv2+mgh

所以本題選AC，選項D根據超重、失重發生的條件很容易排除掉.

通過上述例子可小結出利用質點系動能定理解決問題的一般思路：

（1）明確質點系由哪些對象構成;

（2）要正確的分析出系統的內力和外力，明確系統內力和外力做功情況;

（3）如果質點系內的物體用不可伸長的繩或桿相連，則質點系內力做功代數和為零，只考系統外力所做的功，使問題大大簡化;

（4）如若內力做功代數和不為零，則分別寫出內力和外力所做的功，列質點系動能定理方程，解決問題.

需要特別強調的是質點系的內力做功代數和不一定都為零，只有不可伸長的繩和桿相連的物體，其內力做功的代數和才為零，一旦系統內的兩物體距離發生變化內力做功的代數和便不再為零，這一點一定要慎之又慎，另外，繩和桿相邊的物體在發生運動時，其各自沿繩或桿方向的速度一定相等，這也是關聯系統內物體速度關系的重要方法所在.

參考文獻：

[1]趙晶，班月童，孟秀蘭.高考物理壓軸題中考生運用能量觀念解決物理問題的障礙分析——以2019年全國高考理綜Ⅰ卷第25題為例[J].物理教學，2019，41（12）：60-64+32.

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