橫看成嶺側(cè)成峰 遠(yuǎn)近高低各不同

盧會(huì)玉

摘?要：坐標(biāo)是向量進(jìn)行代數(shù)化的中傳媒介，通過(guò)向量的坐標(biāo)表示可將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.若能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，就可以使圖形中復(fù)雜的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單直接的代數(shù)關(guān)系，雖然存在運(yùn)算問(wèn)題，但是大大減少了推理過(guò)程，有效地降低思維量，起到事半功倍的效果.本文從已知條件中有明顯垂直關(guān)系和未給出明顯垂直關(guān)系等角度例談了坐標(biāo)法解決平面向量的模長(zhǎng)問(wèn)題. 將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解，體現(xiàn)了向量解題的工具性.

關(guān)鍵詞：平面向量;模長(zhǎng);平面直角坐標(biāo)系;坐標(biāo)法

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）22-0066-03

以平面向量模長(zhǎng)為背景的綜合題，通常與函數(shù)、不等式、平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合考查，能綜合考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，能有效考查學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)潛能，體現(xiàn)了高考在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題的思想，是高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn). 解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是認(rèn)真分析題意，恰當(dāng)?shù)貙?wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為解析幾何中的模型，或者函數(shù)或不等式求最值等問(wèn)題進(jìn)行求解.

正因?yàn)橄蛄考扔小皵?shù)”，又有“形”的雙重身份，所以數(shù)形結(jié)合法是解決平面向量模長(zhǎng)問(wèn)題的常見(jiàn)方法.而坐標(biāo)法作為學(xué)生非常熟悉的方法，自然而然成為了平面向量模長(zhǎng)的解題利器，這也是一種將幾何問(wèn)題代數(shù)化的典范.

一、已知向量坐標(biāo)求模長(zhǎng)的問(wèn)題

已知向量坐標(biāo)求模長(zhǎng)的問(wèn)題常與二次函數(shù)的最值或者三角函數(shù)的范圍有關(guān)，運(yùn)算正確即可.

例1?已知向量a=（1-t，t），b=（2，3），則a-b的最小值為（）.

A. 2?B.23?C.22D.42

解析?a-b=（t+1）2+（t-3）2=2（t-1）2+8≥22，所以當(dāng)t=1時(shí)a-b的最小值為22.

故選C.

例2?已知向量a=（cosθ，sinθ），b=（3，-1）則2a-b的范圍是.

解析?2a-b=（2cosθ-3，2sinθ+1），則2a-b=（2cosθ-3）2+（2sinθ+1）2=8sin（θ-π3）+8.由sin（θ-π3）∈-1，1得8sin（θ-π3）+8∈0，16，即2a-b∈0，4.

二、已知條件中有明顯垂直關(guān)系的模長(zhǎng)問(wèn)題

有一類(lèi)在已知條件中有明顯的垂直關(guān)系的問(wèn)題，比如已知矩形、數(shù)量積為零等等. 這類(lèi)問(wèn)題很多學(xué)生是可以想到用坐標(biāo)法的，建立直角坐標(biāo)系后，剩余的問(wèn)題就是運(yùn)算.

例3?在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，點(diǎn)P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則使得|AP-AC|≥1的概率為（）.

A.π4B.π8C.1-π4D.1-π8

圖1

解析?建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，A為坐標(biāo)原點(diǎn).則A（0，0），B（2，0），C（2，1），則

AP-AC=（x，y）-（2，1）=（x-2，y-1），所以|AP-AC|=（x-2）2+（y-1）2≥1，表示在矩形ABCD內(nèi)，以C為圓心，1為半徑的圓的外部，所以概率為

2-π42=1-π8.故選D.

例4?在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若AB·AF=2，則AE·BF的值是.

圖2

解析?以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），E（2，1），F(xiàn)（x，2），故AB=（2，0），AF=（x，2），AE=（2，1），BF=（x-2，2）.

∴AB·AF=（2，0）·（x，2）=2x=2，∴x=1.因此AE·BF=（2，1）·（1-2，2）=2.

例5?已知a，b是單位向量，a·b=0，若向量c滿足c-a-b=1，則c的最大值是.

解析?因?yàn)閍，b是單位向量，且a·b=0，所以可設(shè)a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），則c-a-b=（x-1，y-1）.由c-a-b=1得（x-1）2+（y-1）2=1，即（x，y）的軌跡是以（1，1）為圓心，半徑為1的圓.

故cmax=2+1.

例6?在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=3，AC=4，AD=λAB+μAC（λ>0，μ>0），則當(dāng)λμ取得最大值時(shí)，AD的值為（）.

A. 72?B. 3?C. 125?D. 52

解析?由題意可知，不妨以A坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AC所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（3，0），C（0，4）.

因?yàn)锳D=λAB+μAC（λ>0，μ>0），且點(diǎn)D在邊BC上，所以λ+μ=1，則λμ≤（λ+μ）24=14（當(dāng)且僅當(dāng)λ=μ=12時(shí)取等號(hào)）.

此時(shí)AD=λAB+μAC=12AB+12AC=12（3，0）+12（0，4）=（32，2），

所以AD=（32）2+22=52.

故選D.

三、已知條件中未出現(xiàn)明顯垂直關(guān)系的模長(zhǎng)問(wèn)題

已知條件中未給出明顯垂直關(guān)系的問(wèn)題是比較常見(jiàn)的，那么如何透過(guò)現(xiàn)象，找到建立直角坐標(biāo)系的契機(jī)，這就需要認(rèn)真分析題目已知條件，難度較大.

例7?在平面內(nèi)，AB·AC=BA·BC=CA·CB=6，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足AP=2，PM=MC，則BM的最大值是（）.

A. 3?B. 4?C. 8?D. 16

解析?由AB·AC=BA·BC=CA·CB=6，得AB·（AC+BC）=BC·（BA+CA）=AC·（AB+CB）=0.所以△ABC是等邊三角形，設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為x，則AB·AC=x2

cos60°=12x2=6，得x=23.

以BC所在的直線為x軸，以BC的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，則B（-3，0），C（3，0），A（0，3）.由AP=2，得點(diǎn)P滿足：x2+（y-3）2=4.由PM=MC得M（x，y）為PC的中點(diǎn).設(shè)M（x，y），則P（2x-3，2y），代入x2+（y-3）2=4得（2x-3）2+（2y-3）2=4，即（x-32）2+（y-32）2=1，即點(diǎn)M在以（32，32）為圓心，1為半徑的圓上，則BM的最大值是圓心到B的距離加上半徑：（-3-32）2+（0-32）2+1=4.

故選B.

例8?已知點(diǎn)A，B，C在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng)，且AB⊥BC，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），則PA+PB+PC的最大值為（）.

A.6?B.7C.8D.9

解析?由題意得，AC為圓的直徑，故可設(shè)A（a，b），C（-a，-b），B（x，y），則PA+PB+PC=（a-2，b）+（x-2，y）+（-a-2，-b）=（x-6，y），所以PA+PB+PC=（x-6）2+y2的最大值為圓x2+y2=1上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)（6，0）距離的最大值，顯然最大值為7.

故選B.

例9?已知向量a，b夾角為π3，b=2，對(duì)任意x∈R，有b+xa≥a-b，則tb-a+tb-a2t∈R的最小值是.

解析?將b+xa≥a-b兩邊平方整理可得：x2a2+2xa·b-（a2-2a·b）≥0.因?yàn)閷?duì)x∈R都成立，則Δ=4（a·b）2+4a2（a2-2a·b）≤0，即（a2-a·b）2≤0，則a2-a·b=0，即a·（a-b）=0，即a⊥（a-b），則a2=a·b=abcosπ3，則a=1，a-b=a2-2a·b+b2=3.

令A(yù)O=a，AB=b，建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系，則A（1，0），B（0，3），所以a=（-1，0），b=（-1，3），所以tb-a+tb-a2=圖3（1-t）2+（3t）2+12-t2+3t2=4t2-2t+1+4t2-t+14=2t-142+0-342+t-182+0+382，表示Pt，0與M14，34，N18，-38的距離之和的2倍，當(dāng)M，P，N共線時(shí)，取得最小值2MN，即有2MN=214-182+34+382=72.故答案為72.

例10?已知向量a，b，c滿足a=4，b=22，a與b的夾角為π4，（c-a）·（c-b）=-1，求c-a的最大值.

解析?設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，以O(shè)A所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)閍=4，b=22，a與b的夾角為π4，則A（4，0），B（2，2）.設(shè)C（x，y），則，a=（4，0），b=（2，2），c=（x，y），又因?yàn)椋╟-a）·（c-b）=-1，所以x2+y2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=1，表示以（3，1）為圓心，以1為半徑的圓，c-a表示點(diǎn)A，C的距離，即圓上的點(diǎn)與點(diǎn)A（4，0）的距離.

∵圓心到A的距離為（3-4）2+（1-0）2=2，∴c-a的最大值為2+1.

例11?已知向量a，b，且b=2，b·（2a-b）=0，則tb+（1-2t）a（t∈R）的最小值為.

解析?由b=2可設(shè)b=（2，0），設(shè)a=（x，y），則2a-b=2（x，y）-（2，0）=（2x-2，2y）.由b·（2a-b）=0可得：4x-4=0，x=1，即a=（1，y）.則tb+（1-2t）a=t（2，0）+（1-2t）（1，y）=（1，（1-2t）y），所以tb+（1-2t）a=1+（1-2t）2y2≥1，即tb+（1-2t）a（t∈R）的最小值為1.

例12?在△AOB中，G為△AOB的重心（三角形中三邊上中線的交點(diǎn)叫重心），且∠AOB=60°.若OA·OB=6，則OG的最小值是.

解析?因?yàn)镺A·OB=6，且∠AOB=60°，則OA·OB=OAOBcos60°=12OAOB=6，所以O(shè)AOB=12.以邊OA所在的直線為x軸，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)OB=m，則OA=12m，則A（12m，0），B（m2，32m），O（0，0），所以G（12m+m23，3m23），即OG=（4m+m6，3m6）.

所以O(shè)G=（4m+m6）2+（3m6）2=m29+16m2+43≥2（當(dāng)且僅當(dāng)m29=16m2，即m=23時(shí)取等號(hào)）. 則OG的最小值是2.

平面向量問(wèn)題總是給人一種“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的感覺(jué)，但是不論平面向量問(wèn)題是以何種方式呈現(xiàn)，不論和哪些知識(shí)進(jìn)行交匯，首先應(yīng)該去思考能否進(jìn)行坐標(biāo)法解答. 坐標(biāo)是向量進(jìn)行代數(shù)化的中傳媒介，通過(guò)向量的坐標(biāo)表示可將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.而坐標(biāo)是需要借助于直角坐標(biāo)系的，所以對(duì)于某些平面向量問(wèn)題，若能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，就可以使圖形中復(fù)雜的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單直接的代數(shù)關(guān)系.雖然存在運(yùn)算問(wèn)題，但是大大減少了推理過(guò)程，有效地降低思維量，起到事半功倍的效果.

上述問(wèn)題幾乎都是通過(guò)建立坐標(biāo)系將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與不等式問(wèn)題求解，體現(xiàn)了向量解題的工具性. 建立直角坐標(biāo)系的原則是能準(zhǔn)確快捷地表示有關(guān)向量或點(diǎn)的坐標(biāo)，正確找到變量間的關(guān)系，以及正確分析目標(biāo)函數(shù)代表的幾何意義.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳凱晨.平面向量模長(zhǎng)問(wèn)題求解的常用策略[J].數(shù)理化解題研究，2016（01）：23.

[責(zé)任編輯：李?璟]