尋找向量問題中的“圓”

摘?要：本文通過三例說明在向量問題中找出軌跡圓對解題的作用.

關鍵詞：向量;圓

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0058-02

收稿日期：2020-05-05

作者簡介：俞新龍（1976-），男，浙江省紹興人，中學高級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

向量作為高考必考的知識點已經成為高考命題者嘗試創新命題的一個重要陣地.近年來在高考和各省市模擬卷中出現了不少有新意的考題，其中有一些考題若能挖掘出題中隱含的“圓”，則問題便能較好的求解.下面舉三例說明.

例1?（2018年浙江高考9）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為π3，向量b滿足b2-4e·b+3=0，則|a-b|的最小值是（）.

A.3-1B.3+1C.2D.2-3

解析我們知道向量是數形結合體，故一般向量問題都會有兩種解決辦法：代數法和幾何法.下面我們就從這兩個方面來進行求解.

代數法（坐標法）：如圖1建立平面直角坐標系，設e=OE=（1，0），a=OA，b=OB=（x，y），則可知A在射線y=3x（x>0）上.又根據等式b2-4e·b+3=0可得（x-2）2+y2=1，所以知B在以2，0為圓心、1為半徑的圓上.|a-b|的幾何意義是線段AB的長，即圓（x-2）2+y2=1上任意一點B與射線y=3x（x>0）上任意一點A的距離，故|a-b|的最小值顯然是圓心2，0到射線y=3xx>0的距離3減去圓半徑1.

故答案為A.

幾何法：因為b2-4e·b+3=b2-4e·b+3e2=b-e·b-3e=0，即BE·BD=0，

所以BE⊥BD，如圖1所示.則可知B在以ED為直徑的圓上，即得B的軌跡為（x-2）2+y2=1，其余做法同代數法，略.

評注?代數法中的圓從方程中能夠直觀得到，但幾何法中的圓需要結合直角三角形直角頂點一定在以斜邊為直徑的圓上這個性質.

例2?已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足|c-a|=12，則a+b-c+2c-b的最小值為.

解析?如圖2，以OA=a，OB=b，則a+b-c+2c-b=CD+2CB.設C（x，y），由|c-a|=12得（x-1）2+y2=14.則根據阿波羅尼斯圓知可在AD上找一點E（1，m）使CD=2CE，即x-12+（y-1）2=2x-12+（y-m）2，化簡得x2-2x+y2-8m-23y+4m2+23=0，此方程與點C軌跡方程是一樣的，則8m-23=0，4m2+23=34，解得E（1，14），則a+b-c+2c-b=2CE+2CB≥2BE，故a+b-c+2c-b≥52.

評注?阿波羅尼斯圓的正用不難，難的是逆用甚至變用，一般求兩條比例為1：λ（λ≠1）的線段和就可以試著用阿波羅尼斯圓的性質進行求解.

例3?已知平面向量a，b，c滿足c=4，a·c-a=b·c-b=3，當a與b的夾角最大時，a·b=.

解析設c=OC=（4，0），由條件等式a·c-a=b·c-b=3整理得a-c22=b-c22=1，即知向量a與b是2，0為圓心、1為半徑的圓上的兩個動點.記a=OA，b=OB，如圖3所示，OA、OB與圓相切時向量a與b的夾角最大，此時A（32，32），B（32，-32），所以a·b=94-34=32.

評注?配方是個難點，從配方式子中看出軌跡是圓是關鍵點.

參考文獻：

[1]韓文美.你若盛開，“隱圓”自來[J].高中生之友，2019（1-2）：64-65.

[責任編輯：李?璟]