例說向量坐標運算在解題中的應用

田素偉

摘?要：本文介紹了用向量的坐標運算解答向量問題的方法，對優化思維方法十分有益.

關鍵詞：向量;坐標;運算

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0052-03

向量知識是中學數學中的重要知識，與三角、代數、幾何有密切的聯系.向量是融數與形于一體的知識，既具有幾何形式又具有代數形式，是中學數學知識中多種知識的交匯點，成為聯系眾多數學知識點的橋梁.在近幾年高考數學題中以向量為載體的題目越來越多，向量的坐標運算很好地體現了數形結合的思想方法.如果在向量的題目中能恰當地利用向量的坐標運算來解決向量的問題會起到簡化運算的效果，有的題目會起到令人拍案驚奇之感.利用向量的知識培養學生的思維能力，這樣可以加強學生對數學思想方法的理解，還可以培養學生的思維能力.下面以具體的題目來看一下向量的坐標運算在向量問題中的應用.

例題1?（2009年高考安徽卷理第14題）給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°.如圖1所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值是.

解法1?設∠AOC=α.

OC·OA=xOA·OA+yOB·OA，OC·OB=xOA·OB+yOB·OB，

即cosα=x-12y，cos（120°-α）=-12x+y，

∴x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=cosα+3sinα=2sin（α+π6）≤2.

如果我們用上面的解法可以解答這道題，但是，有的學生可能想不到把已知的條件等式兩邊取數量積，（本題還有其他解法）或者無從下手去解答，能不能用轉化為坐標運算來解決呢？（設置問題情境讓學生認識到各個知識之間的聯系，體會客觀世界中事物與事物之間普遍聯系的辯證唯物觀主義觀點）如果適當地建立平面直角坐標系，把向量的問題轉化為向量的坐標運算，實現問題的轉化與變通，把向量的幾何特征轉化為代數形式，給解答問題帶來新的思路.這樣可以激發學生的學習興趣，提高學習效率，在知識的遷移中進行創造性的學習，達到傳授知識與培養學生能力融為一體的目的.下面我們用向量的坐標運算來解答本題.

解法2?以O為原點，OA所在直線為x軸，建立平面直角坐標系.

設∠AOC=θ，

A（1，0），C（cosθ，sinθ），B（cos120°，sin120°），

OC=（cosθ，sinθ），

OA=（1，0），

OB=（cos120°，sin120°）=（-12，32）.

∵OC=xOA+yOB，

∴（cosθ，sinθ）=x（1，0）+y（-12，32），

∴cosθ=x-12y

，sinθ=32yx=cosθ+13sinθ，

y=23sinθx+y=3sinθ+cosθ=2sin（θ+π6）≤2.

讓學生熟練應用建立平面直角坐標系，體會向量坐標運算的優勢：思路明確，過程簡捷.這樣可以激發學生的學習興趣，提高學習效率，在知識的遷移中進行創造性的學習，達到傳授知識與培養學生能力融為一體的目的.

利用向量的坐標運算解決向量問題的優勢在于將向量的幾何特征轉化為代數特征，運算過程也隨之變得簡單化、程序化，從而減少思維難度，起到事半功倍的效果.這樣，把代數、幾何、三角知識融為一體，深化了基礎知識和 基本技能，激化了學生的思維.

例題2?（2014高考上海卷第17題）如圖2，四個邊長為1的正方形排成一個大正方形，AB是大正方形的一條邊，Pi（i=1，2，…，7）是小正方形的其余的頂點，則AB·APi（i=1，2，…，7）的不同值的個數為（）.

A.7B.5C.3D.1

如果用這種方法來解上海高考題是不是可以呢？以此來激發學生的學習興趣，提高學習效率，在知識的遷移中進行創造性的學習，達到傳授知識與培養學生能力融為一體的目的.

解析?以A為坐標原點建立如圖2所示的平面直角坐標系，則

A（0，0），B（0，2），P1（0，1），P2（1，0），P3（1，1），P4（1，2），P5（2，0），P6（2，1），P7（2，2），

可知AB=（0，2），AP1=（0，1），AP2=（1，0），AP3=（1，1），AP4=（1，2），AP5=（2，0），AP6=（2，1），AP7=（2，2）.

所以AB·AP1=2，AB·AP2=0，AB·，AP3=2，AB·AP4=4，AB·AP5=0，AB·AP6=2，AB·AP7=4.

由此可知AB·APi（i=1，2，…，7）的值有0，2，4，所以有三個不同的值.

讓學生經歷主動觀察、大膽猜想、積極驗證，順利得出向量的坐標，突出重點.同時培養學生的觀察能力、推理能力、邏輯思維能力. 通過建立恰當的平面直角坐標系，首先設出點的坐標，得出向量的坐標，再轉化為向量的坐標運算.這樣把向量的運算轉化為一種程序化的運算.用建立平面直角坐標系，轉化為向量坐標運算的優勢是思路明確，過程簡單，思考的難度小.幫助學生把所學知識納入知識體系，形成良好的認知結構，有益于學生對知識的鞏固、理解和掌握.

例題3?（2014高考天津卷第13題）已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，

點E，F分別在邊BC、DC上，BC=3BE，DC=λDF.若

AE·AF=1，則λ的值為

.

解析?以AC所在直線為x軸， BD所在直線y為軸建立如圖3所示平面直角坐標系坐標系， A-1，0、B0，-3、C1，0、D0，3，設Ex1，y1，Fx2，y2，

可得

BC=（1，3），

BE=（x，y1+3），

DC=（1，-3），

DF=（x2，y2-3）.由BC=3BE

得

1，3=3x1，y1+3，解之得E13，-233.又由DC=λDF

得1，-3=λx2，y2-3，解之得F1λ，3-3λ.又∵AE·AF=43，-233·1λ+1，3-3λ=103λ-23=1，∴λ=2.

借助數學圖形解決問題，提高學生用數形結合的思想方法解決問題的能力，

本題也是把向量問題利用向量的坐標運算轉化為代數運算，再解方程即可求解.

例題4?（2014年江蘇卷12題）如圖4所示，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AP·BP=2，則AB·AD的值是.

解析?以A為原點（A與坐標原點O重合），AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，設∠DAB=θ，A（0，0），B（8，0），D（5cosθ，5sinθ），P（2+5cosθ，5sinθ），

AP=（2+5cosθ，5sinθ），BP=（-6+5cosθ，5sinθ）.

AP·BP=13-20cosθ=2，由此可得cosθ=1120.

∴AB·AD=|AB||AD|cosθ=22.

評析?建立恰當的平面直角坐標系，得出向量的坐標，轉化為向量的坐標運算.使學生理解平面向量的坐標概念，明確求向量坐標的思路.

例題5?平面上三個向量OA、OB、OC，滿足|OA|=1，|OB|=3，|OC|=1，

OA·OB=0，則

CA·AB的最大值是.

解析?OA·OB=0，則說明

OA⊥OB.以O為原點， OB所在直線為x軸， OA所在直線為y軸建立平面直角坐標系，

O（0，0），A（0，1），B（3，0），C（cosθ，sinθ），設∠COx=θ.

CA=（-cosθ，1-sinθ），CB=（3-cosθ，-sinθ），

CA·CB=（-cosθ）（3-cosθ）+（-sinθ）（1-sinθ）=2sin（θ+7π6）+1.

∴CA·CB的最大值為3.本題考察向量的數量積及其運算，利用向量的坐標運算解決向量問題，將向量的幾何特征轉化為代數特征，把向量的數量積及其運算問題轉化為代數問題，再利用三角函數的性質解決.建立平面直角坐標系，運算過程也隨之變為代數化、程序化，從而降低思維難度.把復雜的問題簡單化，起到事半功倍的效果.向量是融數、形于一體的知識，具有幾何形式與代數形式的“雙重身份”，是中學數學知識的一個重要交匯點，成為聯系眾多知識點的媒介.向量的坐標運算很好地體現了數形結合的思想方法.以向量為載體的題目越來越多地出現在高考題中.

參考文獻：

[1]謝靜.運用平面向量坐標運算的辦法[J].語數外學習（高中版下旬），2019（11）：54.

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