例談用法向量解立幾題

葉煉

摘?要：本文介紹了建立空間直角坐標系，用空間向量法來解答立體幾何中的角度和距離問題.

關鍵詞：空間直角坐標系;向量;法向量;角;距離

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0036-02

普通高中課程標準教科書對法向量是這樣定義的：如果a⊥α，那么向量a叫平面α的法向量.

運用法向量這一工具來處理立幾中求角和距離等問題，可以避開了立幾傳統解法的較為繁瑣的推理，從而降低思維難度，更使解題方法模式化，解答過程流暢、簡潔，易于掌握.

運用法向量解題，主要利用下面三個定理：（為了節省編幅，定理證明略）

定理1?若平面α的法向量為n，B為α內任一點，則點A到平面α的距離d=|AB·n|n.

定理2?若直線與平面法向量的夾角為α，則線面所成的角θ滿足sinθ=|cosα|.

定理3?若二面角兩個面的法向量分別為n1、n2，則二面角（銳角）的平面角θ滿足cosθ=|cos〈n1，n2〉|.

例1?已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，點E是CC1的中點，點F是BD1的中點.

（1）證明EF為BD1與CC1的公垂線;

（2）求點D1到面BDE的距離.

解?（1）（略）

（2）以D為原點，分別以DA、DC、DD1為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則D（0，0，0），B（1，1，0），E（0，1，1）.

∴DB=（1，1，0）?BE=（-1，0，1）

設平面BDE的法向量n=（s，t，1），由n⊥DB，n⊥BE得

n·DB=（s，t，1）·（1，1，0）=s+t=0，

n·BE=（s，t，1

）·（-1，0，1）=-s+1=0.

∴s=1，t=-1，故n=（1，1，1），|n|=3.

∵D∈面BDE，DD1=（0，0，2），

∴DD1·n=（0，0，2）·（1，1，1）=2.

∴點D1到面BDE的距離d=|DD1·n|n=23=233.

例2?已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于面ABCD，且GC=2，求點B到面EFG的距離.

解?以C為坐標原點，CD為x軸，CB為y軸，建立如圖所示的直角坐標系O-xyz，則E（2，4，0），F（4，2，0），G（0，0，2），B（0，4，0）

∴EF=（2，-2，0），EG=（-2，-4，2）

設平面EFG的法向量n=（s，t，1），由n⊥EF，n⊥EG得

nEF=（s，t，1）（2，-2，0）=2s–2t=0

nEG=（s，t，1）（-2，-4，2）=-2s-4t+2=0

∴s=t=13

∴n=（13，13，1）?|n|=113

∵E∈面EFG，EB=（-2，0，0）

∴EBn=（-2，0，0）（13，13，1）=-23

∴點B到面EFG的距離d=|EB·n|n=23113=21111.

例2?如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是

等腰直角三角形，∠ACB=π2.側棱AA1=2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

（1）求A1B與平面ABD所成的角的正弦值;

（2）求點A1到平面ABD的距離.

解?（1）如圖，建立以C為原點，分別以CA、CB、CC1為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標系O-xyz，設A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，0，0），A1（a，0，2），B1（0，a，2），C1（0，0，2），D（0，0，1）.其中令AC=a>0.

由E是A1B的中點，得E（a2，a2，1），由G是△ABD的重心，得G=（a3，a3，13），故EG=（-a6，-a6，-23）為平面ABD的法向量，且|EG|=162a2+16.

又A1B=（-a，a，-2），|A1B|=2a2+4，

∴A1B·EG=（-a，a，-2）·（-a6，-a6，-23）=43.

而EG⊥BD，故EG·BD=（-a6，-a6，-23）·（0，-a，1）=0，∴a=2.

∴|EG|=63，|A1B|=23.

設A1B與平面ABD所成的角為θ，則

sinθ=|cos〈A1B，EG〉|=4363×23=23.

∴A1B與平面ABD所成的角的正弦值為23

（2）設平面AED的法向量n=（s，t，1），

則n⊥AE，n⊥AD.

由（1）可知A（2，0，0），E（1，1，1），D（0，0，1），

∴AE=（-1，1，1），AD=（-2，0，1）

n·AE=（s，t，1）·（-1，1，1）=0，

n·AD=（s，t，1）·（-2，0，1）=0

∴s=12，t=-12.故n=（12，-12，1），|n|=62.

又A∈面AED，AA1=（0，0，2），

∴AA1·n=2.

∴點A1到平面AED的距離d=|AA1·n|n=262=263.

例3?如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=π2，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12.

（1）求四棱錐S-ABCD的體積;

（2）求面SCD和面SAB所成二面角的正切值.

解?（1）（略）

（2）易知AD、AB、AS是兩兩垂直的直線，故以A為坐標原點，分別以AD、AB、AS為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系O-xyz，則A（0，0，0），D（12，0，0），C（1，1，0），S（0，0，1）.

∴DC=（12，1，0），DS=（-12，0，1）.

設平面SCD的法向量為n=（s，t，1），

由n⊥DC，n⊥DS得

n·DC=（s，t，1）·（12，1，0）=12s+t=0，

n·DS=（s，t，1）·（-12，0，1）=-12s+1=0，

∴s=2，t=-1.

∴n=（2，-1，1），|n|=6.

又AD=（12，0，0）是平面SAB的法向量，

AD·n=1.

∴cos〈AD，n〉=AD·n|AD||n|=112×6=63.

∴tan〈AD，n〉=22.

即面SCD和面SAB所成二面角的正切值等于22.

例4?如圖ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，側棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點.

（1）求三棱錐D1-DBC的體積;

（2）證明BD1∥面C1DE;

（3）求面C1DE與面CDE所成二面角的正切值.

解?（1）（2）（略）

（3）以D為原點，分別以DA、DC為x、y軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，

則A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（1，2，0），C1（0，2，1）.

∴DE=（1，2，0），C1E=（1，0，-1）.

∵面CDE在xOy坐標平面，故其法向量為n1=（0，0，1），設平面C1DE的法向量n2=（s，t，1），由n2⊥DE，n2⊥C1E得n2·DE=（s，t，1）·（1，2，0）=s+2t=0，

n2C1E=（s，t，1）·（1，0，-1）=s-1=0.

∴s=1，t=-12，

∴n2=（1，-12，1），|n2|=32.

n1·n2=（0，0，1）·（1，-12，1）=1，

∴cos〈n1，n2〉=n1·n2n1|n2=132=23

∴tan〈n1，n2〉=52.

即面C1DE與面CDE所成二面角的正切值為52.

參考文獻：

[1]韋榮和.立體幾何的常見題型及解答方法[J].語數外學習（高中版下旬），2019（06）：31.

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