妙用定比分點公式巧解題

胡貴平

摘?要：有向線段的定比分點是普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修4知識點，妙用定比分點坐標公式解題，解法新穎，可以極大開拓思維，提升數學學科素養.

關鍵詞：定比分點;坐標公式;巧解

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0033-03

P1P=λPP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比，當點P在線段P1P2上時，λ>0;當點P在線段P1P2或P2P1的延長線上時，λ<0.定比分點向量式OP=11+λOP1+λ1+λOP2，定比分點坐標式x=x1+λx21+λ，y=y1+λy21+λ（λ≠-1）.定比分點公式揭示了直線上點的位置與數量變化之間的轉化關系，靈活應用這個公式，可使解題過程簡潔明快，充分展現思維的獨創性.下面舉例說明它在解題中的應用.

一、證明不等式

例1?（選修4-5第29頁第4題）已知a>b>c，求證1a-b+1b-c+1c-a>0.

證明?因為a>b>c，設b=c+λa1+λ，則λ>0，

所以1a-b+1b-c+1c-a=1a-c+λa1+λ+1c+λa1+λ-c+1c-a=（a-c）（1+λ+1λ）>0.

例2?（選修4-5第21頁例2）如果用a kg白糖制出b kg糖溶液，則糖的質量分數為ab.若上述溶液中再添加m kg白糖，此時糖的質量分數增加到a+mb+m.將這個事實抽象為數學問題，并給出證明.

解?可以把上述事實抽象成如下不等式問題：

已知a，b，m都是正數，并且a<b，則a+mb+m>ab.

下面用定比分點給出證明.

a+mb+m=ab+mb·11+mb，設λ=mb，在x軸上取P1（ab，0），P（a+mb+m，0），P2（1，0）點，因為a，b，m都是正數，且a<b，所以λ>0，點P是點P1和點P2的內分點，所以a+mb+m>ab.

例3?（選修4-5第29頁第4題）設x，y為正數，且x+y=1，證明（1x2-1）（1y2-1）≥9.

證明?因為x+y=1，所以0<x<1，0<y<1.設x=λ1+λ，則y=1-x=11+λ（λ>0），

所以（1x2-1）（1y2-1）=（1+2λ+λ2λ2-1）（λ2+2λ）=5+2λ+2λ≥5+22λ·2λ=9，當且僅當λ=1，即x=y=12時，取得等號.

評注?若證明的不等式可變形或者構造出a+bg（x）1+g（x）部分，可以考慮應用定比分點公式來證明.

二、解不等式

例4?（2015江蘇）解不等式x+2x+3≥2.

解?原不等式可化為在x軸上2x+3≥-x+2，在x軸上取P1（x-2，0），P（2x+3，0），P2（-x+2，0）點，則定比λ=P1PPP2=2x+3-（x-2）-x+2-（2x+3）=x+5-3x-1.當x=-5時，λ=0，原不等式等號成立;當x=-13時，λ不存在，原不等式等號成立;當x≠-5，x≠-13時，點P外分P1P2的定比λ<0，即x+5-3x-1<0，即（3x+1）（x+5）>0，所以x<-5，或x>-13.綜上，原不等式的解集為xx≤-5，或x≥-13.

例5?解不等式1<x2-2x-1x2-2x-2<2.

解?在x軸上取P1（1，0），P（x2-2x-1x2-2x-2，0），P2（2，0）點，則點P內分P1P2的定比λ>0， λ=P1PPP2=x2-2x-1x2-2x-2-12-x2-2x-1x2-2x-2=1x2-2x-3，所以1x2-2x-3>0，即x2-2x-3>0，所以x<-1或x>3，故原不等式的解集為xx<-1，或x>3.

評注?形如f（x）>m、f（x）<m，以及a<f（x）<b的不等式，都可以考慮應用定比分點公式解決.

三、數列

例6?（必修5第46頁第3題）已知數列an是等差數列，Sn是其前n項和，求證S6，S12-S6，S18-S12也成等差數列.

證明?由Sn=na1+n（n-1）2d，得Snn=a1+（n-1）d2，所以Snn是等差數列.取共線三點的P1（6，S66），P（18，S1818），P2（12，S1212），設點P分P1P2的定比為λ，則18=6+12λ1+λ，S1818=S66+S1212λ1+λ.所以λ=-2，S1818=S66+S1212（-2）1-2，即S18=3S12-S6，所以S6+（S18-S12）=S6+（3S12-S6）-S12=2（S12-S6），故S6，S12-S6，S18-S12也成等差數列.

例7?（2015重慶理）在等差數列an中，若a2=4，a4=2，則a6=（）.

A.-1B.0C.1D.6

解?數列an是等差數列，取共線三點的P1（2，4），P（6，a6），P2（4，2），設點P分P1P2的定比為λ，則6=2+4λ1+λ，a6=4+2λ1+λ.所以λ=-2，a6=0.

評注?數列an是等差數列，則Snn也是等差數列，它們中的項都是直線上孤立的點，共線三點就可以考慮定比分點.

四、解析幾何

例8?（必修2第90頁第6題） 經過點P（0，-1）作直線l，若直線l與連接A（1，-2），B（2，1）的線段總有公共點，找出直線l的傾斜角α與斜率k的取值范圍，并說明理由.

解?顯然直線l的傾斜角α≠90°，設直線l的方程為y=kx-1，點M是直線l與線段AB的交點，則點M內分AB（M與B不重合）的定比λ≥0，此時M（1+2λ1+λ，-2+λ1+λ）.又點M在直線l上，所以-2+λ1+λ=k（1+2λ1+λ）-1，解得λ=k+12-2k ，所以k+12-2k≥0，即-1≤k≤1.因此，傾斜角的范圍是0°≤α≤45°，或135°≤α<180°.

例9?（必修2第89頁第5題）已知A（1，2），B（-1，0），C（3，4）三點，這三點是否在同一條直線上，為什么？

解?設C′（3，y）是直線AB上一點，C′分AB的定比λ，則3=1-λ1+λ，y=21+λ.解得λ=-12，y=4.所以C′（3，y）和C（3，4）重合，所以三點是在同一條直線上.

評注?直線上的三點是定比分點的典型形式.

五、函數

例10?（2005江蘇）函數y=log0.5（4x2-3x）的定義域為.

解?由題意，得log0.5（4x2-3x）≥0.則由對數函數性質，得0<4x2-3x≤1.

在x軸上取P1（0，0），P（4x2-3x，0），P2（1，0）點，則點P分P1P2的定比λ=P1PPP2=4x2-3x1-（4x2-3x）=x（4x-3）-（x-1）（4x+1）.當x=0時，λ=0，函數沒有意義;當x=1，x=-14時，λ不存在，函數有意義;當x≠0，x≠1，x≠-14時，點P內分P1P2的定比λ>0，即x（4x-3）-（x-1）（4x+1）>0，即x（4x-3）（x-1）（4x+1）<0，所以-14<x<0，或34<x<1.綜上，求得函數的定義域為[-14，0）∪（34，1].

例11?求函數y=1+cosx3-2cosx的值域.

解?由y=1+cosx3-2cosx，得y=13+（-12）（-23cosx）1+（-23cosx）.取三點的P1（13，0），P（y，0），P2（-12，0），則點P分P1P2的定比λ=-23cosx.所以λ∈-23，23.當λ=-23時，ymax=2;當λ=23時，ymin=0，故函數y=1+cosx3-2cosx的值域為0，2.

例12?當x為何值時，y=x2-6x+10+x2+4有最小值，并求此最小值.

解?由y=x2-6x+10+x2+4，得y=（x-3）2+1+x2+4.取三點的P1（3，1），P（x，0），P2（0，-2），問題轉化為在x軸上求一點P，使P1P+PP2的值最小.當這三點共線時，P1P+PP2的值最小.設點P分P1P2的定比為λ，則x=3+λ·01+λ，0=1-2λ1+λ.解得x=2，λ=12.所以當x=2時，y取得最小值，ymin=22-6×2+10+22+4=32.

評注?函數能夠化為形如y=a+bg（x）1+g（x）求值域，可以考慮用定比分點求解;形如y=x2+bx+c±x2+dx+e的函數最值，轉化成距離問題后，再用定比分點求解.

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準試驗教科書（ 必修）數學4[M].北京：人民教育出版社，2017.

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