淺析換元法在不等式問題中的一般規律

孫宇

摘?要：“換元法”是高中數學學習中的最重要的思想方法之一，其在不等式中的應用是最為典型的，也是最巧妙、最廣泛的.本篇文章對換元法在不等式中的應用進行了一般性規律的探究.

關鍵詞：換元法;不等式;思想方法;規律

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0023-02

一、換元法的理解

“換元法”，顧名思義，就是指未知元進行更換，從而使得代數式更加簡單或者更容易理解.在進行換元法使用后，一般代數式的形式就會更加簡潔明了——變成“基本不等式”（“勾函數”形式）或者“二次函數”形式.而在不等式題的證明中有很多重要方法，蘊含著高度的概括性、深刻性、內隱性、層次性、發展性、遷移性、啟發性、廣泛性，因此研究透換元法是非常有必要的.

二、換元法在不等式中的一般規律

在大部分的不等式的考題中，其問題的設置基本上可分為三類：第一類是二元多項式形式，第二類是二元齊次式分式，第三類是二元非齊次分式.筆者分別對這三類不等式最值的求解，用換元法進行詳細的規律探究.

知識儲備?對于一元分式，有兩種基本類型，一類是一元非齊次分式P=kxax2+bx+c，a≠0，且一般情況下a，c是同號的，可以進行分子分母同時除以x，原式就可以變換成P=kax+cx+b，這就是我們熟知的基本不等式（“勾函數”）形式.其推廣形式是P=mx+nax2+bx+c，此時為了方便理解，可以令t=mx+n（注意t的取值范圍），從而x=t-nm，此時原式被還原成其本質形式.另一類是一元齊次式分式P=kx2ax2+bx+c，a≠0，此時分子分母同時除以x2，原式就可以變換成P=kc·1x2+b·1x+a，這是我們熟知的二次函數的形式.

例1?若實數x，y滿足2x2+xy-y2=1，則x-2y5x2-2xy+2y2的最大值為.

分析理解?題設的條件已經比較復雜，不能進行消元變換.而問題的設置是二元變量的非齊次分式，我們需要一些技巧性“眼光”.讀題，我們可以發現題設的條件，可以變換成2x2+xy-y2=（2x-y）（x+y）=1，從而設t=2x-y，則x+y=1t，從而x=13t+13t，y=23t-13t.此時原式x-2y5x2-2xy+2y2=t-1tt2+1t2.令u=t-1t，則x-2y5x2-2xy+2y2=uu2+2=1u+2u，這樣就一目了然了.例2?已知正數x，y，z滿足（x+2y）（y+z）=4yz，且z≤3x，則P=3x2+2y23xy的取值范圍是.

分析理解?由于題設的問題已經是二元齊次式分式，因此我們可以直接將其進行變換：原式P=3（xy）2+23·xy，令t=xy，則P=3t2+23t=t+23t.進行這樣的變換后，我們把目光再轉向題設的條件就會比較清晰了：將z進行消元，從而得到x，y之間的關系式，限定t的取值范圍，就可以得到最終的結果.由題設條件（x+2y）（y+z）=4yz，可得（x+2y）y+（x+2y）z=4yz（x+2y）y=（2y-x）z≤（2y-x）3x，從而得到3x2-5xy+2y2≤0，兩邊同時除以y2，則3t2-5t+2≤023≤t≤1.這樣就可以得到最終結果了.

三、綜合分析

以上兩道例題，我們基本可以說換元法在整個不等式問題的求解中占據著最重要的位置，分析出一般性的一些不等式的求解方法：總體而言就是“化繁為簡”.題設中，①涉及到比較復雜的分式多項式等式，我們可以進行二元變量的換元法（將分式的分母分別進行換元，簡化分式的形式）;②涉及到非齊次等式，一般有兩種操作：一是進行直接消元（將y表示成x的形式），另一種就是進行因式分解后進行消元（將x，y分別用t表示，如例1）;③涉及到齊次式等式，可以直接進行二元變量一元化消元（同時除以x2，令t=yx，如例2）.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中課程方案（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

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