非特殊角三角函數的求值技巧

摘?要：非特殊角三角函數求值問題用一般方法很難求解，求解此類問題的關鍵是設法化去非特殊角.本文將從消去非特殊角、約去非特殊角、湊出特殊角這三個方面舉例說明，供參考.

關鍵詞：非特殊角;三角函數;求值技巧

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0022-01

非特殊角三角函數求值問題較為常見，求解此類問題的關鍵是設法化去非特殊角，而化去非特殊角的主要方法是“消、約、湊”，下面舉例說明.

1.消去非特殊角例1?求cos271°+cos71°cos49°+cos249°的值.

解?原式=1+cos142°2+12（cos120°+cos22°）+1+cos98°2

=12+12cos142°-14+12cos22°+12+12cos98°

=34+12（cos142°+cos98°）+12cos22°

=34+cos120°cos22°+12cos22°

=34-12cos22°+12cos22°

=34.

點評?本題中的71°和49°都不是特殊角，直接求解很困難，但是利用降冪公式cos2α=1+cos2α2和積化和差公式cosαcosβ=12[cos（α+β）+cos（α-β）]，進行化簡整理消去了cos22°，出現了意想不到的效果，達到了解題的目的.

2.約去非特殊角

例2?求cot9°-cot27°-cot63°+cot81°的值.

解?原式=（cot9°+cot81°）-（cot27°+cot63°）

=（cot9°+tan9°）-（cot27°+tan27°）

=（cos9°sin9°+sin9°cos9°）-（cos27°sin27°+sin27°cos27°）

=1sin9°cos9°-1sin27°cos27°

=2sin18°-2sin54°

=2（sin54°-sin18°）sin18°sin54°

=4cos36°sin18°sin18°cos36°

=4.

點評?本題中的9°、27°、63°和81°都不是特殊角，但是利用誘導公式cot（90°-α）=tanα、商數關系tanα=sinαcosα（α≠π2+kπ，k∈Z）及cotα=cosαsinα（α≠π+kπ，k∈Z）、平方關系sin2α+cos2α=1、逆用二倍角的正弦公式sin2α=2sinαcosα，化簡整理約去cos36°、sin18°就可以求出原式的值.

3.湊出特殊角

例3?求tan18°+tan42°+3tan18°tan42°的值.

解?tan60°=tan（18°+42°）=tan18°+tan42°1-tan18°tan42°，即tan18°+tan42°

=tan60°（1-tan18°tan42°），整理得tan18°+tan42°+3tan18°tan42°=3.

點評?本題中的18°、42°都不是特殊角，不難發現由18°+42°湊出60°，然后利用兩角和的正切公式tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ，變形整理就可以求出原式的值.

參考文獻：

[1]杜紅全.例談高考數學三角形中最值問題[J].中學生數理化（高二數學），2018（Z1）：5-6.

[責任編輯：李?璟]