明確方向 分步求解

洪汪寶

摘?要：從一道三角形的最值問題出發，引導學生分析問題條件，明確方向，既可轉化為三角函數，也可建立三角形邊之間的等量關系，從而達到分步求解.

關鍵詞：解三角形;最值;不等式;一題多解

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0019-03

題目?在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為.

本題是2018年高考數學江蘇卷填空題第13題，題干條件簡潔，題意清楚，目標明確，主要考查解三角形，將解三角形與不等式巧妙地結合起來，考查學生分析問題和解決問題的能力，對學生的綜合能力要求較高.因為條件中已知三角形的一個內角大小及其內角平分線長，三角形并不能唯一確定，所以等量關系中蘊藏不等關系.對于這樣的解三角形問題，通常有兩個方向，一是將邊轉化為角的三角函數;二是建立邊之間的等量關系.下面讓我們一起來按兩個不同方向分步求解本題.

一、轉化為角的三角函數

由條件知A+C=π3，而且π3是個特殊角，可以考慮在△BDC和△BDA中分別運用正弦定理，將邊轉化為角的三角函數.

第一步：將邊轉化為角的三角函數

在△BDC中，由正弦定理得asinC+π3=1sinC，

整理得a=sinC+π3sinC=12+32tanC，

同理c=12+32tanA，

于是4a+c=52+324tanC+1tanA.第二步：求有關三角函數的最小值

又tanC=tanπ3-A=3-tanA1+3tanA，

設tanA=x，則0<x<3，t=4tanC+1tanA=43x2+3x+3-x2+3x，

整理得43+tx2+3-3tx+3=0.其判別式Δ=3-3t2-4343+t≥0，解得t≥133.所以4a+c=52+324tanC+1tanA≥52+32×133=9，

當且僅當tanA=35，tanC=32，4a+c的最小值為9.

點評?因A+C=π3利用正弦定理將目標式4a+c轉化為關于tanA的代數式，通過換元，得到關于x的二次方程43+tx2+3-3tx+3=0，該方程在0，3上有解，得到其判別式非負，建立不等關系，另外要注意取到最值時成立的條件，千萬不可少.雖然這種思路比較自然，但在高考過程中由于時間的關系，大部分同學會放棄這種解法，因為這種解法對學生的運算求解能力要求極高.

二、建立邊之間的等量關系

鑒于上面轉化為角的三角函數的解法過程非常繁瑣，勢必影響我們思考能否先建立邊a，c的等量關系，再來求4a+c的最小值，整個過程分成兩大步，明確了解題方向，下面我們來分步求解.

第一步：建立等量關系a+c=ac

1.坐標法

方法1?以點B為原點，以BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則Ca，0，A-12c，32c，D12，32，于是CA=-12c-a，32c，CD=12-a，32.由CA與CD共線知32-12c-a=32c12-a，整理得a+c=ac.

方法2?同法1得直線AC的方程為y=3c2-12c-ax-a，化為y=-3cc+2ax-a.將D12，32代入直線方程整理得a+c=ac.

2.利用內角平分線的性質

方法3?在△BDC中，CD=a2+1-2acosπ3=a2+1-a，同理AD=c2+1-c.根據內角平分線性質定理知CDAD=BCAB，即a2+1-ac2+1-c=ac，兩邊平方，并利用比例性質得1-a1-c=a2c2，整理得a-ca+c-ac=0，所以a=c或a+c=ac.當a=c時，可解得a=c=2，4a+c=10.

方法4?由內角平分線性質定理知ADCD=ABBC，于是ACCD=AB+BCBC=a+ca.

在△BCD中，利用正弦定理得1sinC=CDsinπ3?①，

在△ABC中，利用正弦定理得csinC=ACsin2π3?②.

①÷②得，1c=CDAC=aa+c，整理得a+c=ac.

3.向量法

方法5?由條件可設BD=λBCBC+BABA，其中λ>0，兩邊同時平方得1=λ21+1+2cos120°，解得λ=1，于是BD=BCa+BAc.根據A，C，D三點共線得1a+1c=1.

方法6?由內角平分線的性質得CD=acDA，于是BD-BC=acBA-BD，

整理得BD=aa+cBA+ca+cBC.

將兩邊平方得1=aca+c2+aca+c2+2×a2a+c·c2a+ccos2π3=aca+c2，解得a+c=ac.

4.面積法

方法7?因S△ABD+S△CBD=S△ABC，即12c×sinπ3+12a×sinπ3=12acsin2π3，整理得a+c=ac.

5.平面幾何法

方法8?過點A作AE∥BC交BD的延長線于點E，于是∠E=∠CBD=π3=∠ABD，△ABE是邊長為c的等邊三角形，DE=c-1.又△BCD∽△EAD，所以BDDE=BCAE，即1c-1=ac，整理得a+c=ac.

方法9?過點D作DE∥BC交AB于點E，于是∠BDE=∠CBD=π3=∠ABD，△DBE是邊長為1的等邊三角形，AE=c-1.又△ADE∽△ACB，所以DEBC=AEAB，即1a=c-1c，整理得a+c=ac.

點評?上面從多個不同角度來挖掘邊a與c之間的等量關系，其中比較而言，利用面積法最簡單，雖然S△ABD+S△CBD=S△ABC是非常明顯的結論，但不易被學生發現;作平行線構造等邊三角形和相似三角形這種平面幾何法，其運算過程也相對比較簡單.

第二步：求4a+c的最小值

1.利用均值不等式

方法1?由a+c=ac得c=aa-1，a>1，所以4a+c=4a+aa-1=4a-1+1a-1+5≥24+5=9，當且僅當4a-1=1a-1，即a=32，c=3時，4a+c的最小值為9.

方法2?由a+c=ac，得1a+1c=1，所以4a+c=4a+c1a+1c=5+4ac+ca≥5+24=9，當且僅當c=2a，a=32，c=3時，4a+c的最小值為9.

2.利用柯西不等式

方法3?由a+c=ac，得1a+1c=1，根據柯西不等式得4a+c=4a+c1a+1c≥2a·1a+c·1c2=9，c=2a，a=32，c=3時，4a+c的最小值為9.

3.利用判別式法

方法4?設4a+c=t，則c=t-4a，將其代入a+c=ac，整理得4a2-3+ta+t=0.此關于a的方程有實數解，于是其判別式Δ=3+t2-16t≥0，解得t≥9，所以當a=32，c=3時，4a+c的最小值為9.

點評?用重要不等式求最值關鍵在于配湊，法1先消元，再配湊運用均值不等式;法2直接利用“1”的代換，整體配湊;法3運用柯西不等式時也要湊形式;法4運用判別式來求解，體現了方程思想，不過要注意等號成立的條件.

通過以上解法的探究，啟示我們在平時的學習中要認真研究高考真題，要學會將復雜的問題進行分解，化整為零，學會從多個角度對同一問題進行分析，做到一題多解，提高思維的發散性，弄清問題的本質和問題解決的關鍵所在，學會突破解題瓶頸.只要我們解題時做到心中有目標，就可以分步求解，各個擊破.

參考文獻：

[1]曹得鵬，張銀香，馬秀蘭.從一道最值問題說起[J].中學生數理化（教與學），2018（12）：89.

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