概率論的起源與發展

曾軒翎

一、概率論的起源

三四百年前，歐洲的許多國家盛行賭博之風，經常以“擲骰子”的形式進行賭博。因骰子的形狀為小正方體，當它被擲到桌面上時，每個面向上的可能性是相同的，即出現1點至6點中任何一個點數的可能性是相等的。于是，有的參賭者就在想：如果同時擲兩枚骰子，那么點數之和為9與點數之和為10，哪種情況出現的可能性更大？

17世紀中葉，法國有一位熱衷于擲骰子游戲的貴族德·梅耳，發現了這樣的一個事實：將一枚骰子連擲4次至少出現一個6點的機會比較多，而同時將兩枚骰子擲24次，至少出現一次兩個6點的機會卻很少。

這是什么原因呢？后人稱這個問題為德·梅耳問題。

在德·梅耳發現擲骰子的這個問題后不久，有人又提出了“分賭注問題”：兩個人決定賭若干局，事先約定誰先贏5局，便算是贏家。如果在一個人贏3局，另一人贏4局時因故終止賭博，應如何分賭金呢？諸如此類需要計算可能性大小的賭博問題陸續不斷地出現，但他們都沒有找到問題的答案。

1654年，參賭者將他們遇到的上述問題請教了當時的法國數學家帕斯卡，帕斯卡接受了這些問題，但他沒有立即回答，而是把它交給了另一位法國數學家費馬。兩位數學家頻頻通信，互相交流，圍繞著賭博中的數學問題展開了深入細致的研究。他們的信件被看作數學史上最早的概率論文獻。

1657年，荷蘭物理學家、天文學家、數學家惠更斯在帕斯卡與費馬工作的基礎上，發表了第一篇關于概率論的論文《論賭博中的計算》。他在文章中引進了“數學期望”這個重要概念：如果p表示一個人獲得金額為s的概率，則印稱為他的數學期望。他還證明了：如果一個人獲得金額a的概率為p，獲得金額b的概率為q，則他可以希望獲得的金額為ap+bq他運用數學期望解決了許多概率問題，并將此題的解法向更一般的情況推廣，給出了準確的數學期望的定義——它是描述隨機變量取值的平均水平的一個量。

二、概率論的形成

惠更斯經過多年的潛心研究，解決了一些有關擲骰子的數學問題。1657年，他將自己的研究成果寫成了專著《論擲骰子游戲中的計算》。這本書迄今為止被認為是概率論中最早的著作。因此可以說，早期概率論的真正創立者是帕斯卡、費馬和惠更斯。

在他們之后，瑞士數學家雅可布·貝努利也對概率論這一學科的發展作出了巨大的貢獻。他在前人研究的基礎上，繼續分析賭博中的其他問題，給出了“賭徒輸光問題”的詳盡解法，并證明了一個被稱為“大數定律”的定理，這是古典概率論中研究等可能性事件的極其重要的成果。證明大數定律的過程極其困難，雅可布花了整整20年的時間才完成。他進行了大量的實驗和計算，首先猜想到這一事實，然后一步步完善這一猜想的證明。雅可布將他的全部心血都傾注到對這一數學問題的研究之中，在這個過程中，他還發現了不少新的方法，取得了許多新的研究成果，最終也將此定理證實了。

1713年，雅可布的著作《猜度術》出版。遺憾的是他的大作問世之時，雅可布已謝世8年之久。雅可布的侄子尼古拉·貝努利也真正地參與了“賭博”。他提出了著名的“圣彼得堡問題”：甲乙兩人賭博，甲擲一枚硬幣，直到擲出正面為一局。若甲擲一次出現正面，則乙付給甲一個盧布;若甲第一次擲得反面，第二次擲得正面，乙付給甲2個盧布;若甲前兩次擲得反面，第三次得到正面，乙付給甲5個盧布。一般地，若甲前n一肷擲得反面，第n次擲得正面，則乙需付給甲2n-1個盧布。問在賭博開始前甲應付給乙多少盧布才有權參加賭博，并且使乙不虧損？與尼古拉同時代的許多數學家研究了這個問題，并給出了一些不同的解法，但其結果很奇特，所付的金額竟為無限大。這也就是說，不管甲事先拿出多少錢給乙，只要賭博持續進行，乙肯定是要賠錢的。

三、概率論的發展

隨著18、19世紀科學的發展，人們注意到某些生物、物理和社會現象與賭博相似，于是將概率論逐漸應用到這些領域中。

法國數學家拉普拉斯將古典概率論向近代概率論推進，他首先明確給出了古典概率的定義，并在概率論中引入了更有力的數學分析工具，將概率論推向一個新的發展階段。他證明了“棣莫弗一拉普拉斯定理”，把棣莫弗的結論推廣到一般的情況，還得出了觀測誤差理論和最小二乘法。拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理論》，這是一部繼往開來的作品。然而，這時候人們最想知道的是，概率論是否會有更大的應用價值？是否能發展成為一門嚴謹的學科。

在20世紀，由于科學技術發展的迫切需要，概率論再度迅速地發展起來。1906年，俄國數學家馬爾科夫提出了所謂“馬爾科夫鏈”的數學模型。1934年，前蘇聯數學家辛欽又提出一種在時間中均勻進行著的平穩過程理論。其間，很多的數學家都曾嘗試把概率論建立在嚴格的邏輯基礎上，形成一門獨立的學科，但終因條件不成熟，概率論發展為一門獨立學科經歷了300年才實現。

20世紀初完成的勒貝格測度與積分理論，以及隨后發展的抽象測度，為概率公理體系的建立奠定了基礎。在這種背景下，蘇聯杰出的數學家柯爾莫哥洛夫于1933年在他的《概率論基礎》一書中，首次給出了概率的測度論定義和一套嚴密的公理體系。他的公理化方法成為現代概率論的基礎，使概率論成為一個嚴謹的數學分支。

現在，概率論與以它作為基礎的數理統計學科一起，在自然科學、社會科學、工程技術、軍事科學及工農業生產等諸多領域中都起著不可或缺的作用。例如，衛星發射、導彈巡航、飛機制造、宇宙飛船遨游太空等都有概率論的一份功勞;天氣預報、海洋探險、考古研究等更離不開概率論與數理統計;電子技術發展、影視文化的進步、人口普查等同概率論、數理統計也是密不可分的。

概率論作為一個理論嚴謹、應用廣泛的數學分支，正日益受到人們的重視，并將隨著科學技術的進步繼續發展。