雙直線系在圓錐曲線中的應用

劉宇暄

高中解析幾何中，離不開二次曲線系，靈活用好二次曲線系，可以一定程度上減小計算，同時直接獲得相關表達式，在一定程度上了解二次曲線系是非常有好處的。

一、知識介紹

1、二次曲線一般形式為 （ 不同時為0）。

2、圓（ 相等， 為0）、橢圓、拋物線、兩相交直線，兩平行直線（因式分解得）、一條直線（直線一般式平方）等皆可以用上述式子表示。

3、過二次曲線 和 交點的二次曲線系，記為 。

二、問題研究

分析：當直線與另兩條解析式已知的直線交于點時，雙直線的應用可以快速找到兩點間存在的關系。

4.（2015湖北）一種畫橢圓的工具如圖1所示， 是滑槽 的中點，短桿 可繞 轉動，長桿 通過 處鉸鏈與 連接， 上的栓子 可沿滑槽 滑動，且 當栓子 在滑槽 內作往復運動時，帶動 繞 轉動， 處的筆尖畫出的橢圓記為 ，以 為原點， 所在的直線為 軸建立如圖2所示的平面直角坐標系。

（Ⅰ）求橢圓 的方程

（Ⅱ）設動直線 與兩定直線 和 分別交于 兩點，若直線 總與橢圓 有且只有一個公共點，試探究： 的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值;若不存在，說明理由。

評析：當兩條直線與同一直線交于兩點時，雙曲線系可以避免求出點坐標具體值，在一次方程情況下將兩點坐標結合到一起，利用根公式直接寫出長度，簡化運算。

結語：在學習雙曲線系和運用雙曲線系解決問題時，會經歷觀察發現、歸納類比、運算求解、演繹證明等思維過程，數學學習不僅限于接受記憶模仿練習，對一些問題的深入研究在培養我們靈活應用知識能力，熟練掌握方法技巧，提高數學思維能力是非常有益的。

參考文獻：

[1]過兩交點的二次曲線系在解題中的應用 ?彭世金 ?415003