淺談“十字交叉相乘法”在初中數學教學中的巧用

羅玉萍

摘要：十字交叉相乘法是一種簡單、通用、有效的運算方法。運用十字交叉相乘法可以幫助學生化難為易、提高運算能力;它可以幫助學生快速準確地解決數學問題。它既方便了教師教又方便了學生學，讓學生在學習上獲得成就感，激發學生興趣，培養學生學習的自信心，進而提高數學成績。

關鍵詞：十字交叉;交叉相乘;簡單;巧用;有效

正文：十字交叉相乘法是數學運算和資料分析中經常用到的一種重要的解題方法。它在初中數理化乃至高中數理化中都有比較廣泛的應用，而在初中階段的數學教材上，關于分解因式的內容篇幅較少，用十字相乘法進行分解因式的內容在現行的教材中已經找不到。然而，讓學生學會使用十字相乘法進行因式分解，在多項式乘法中的巧用（僅限于兩項乘兩項），解二元一次方程時的巧用，用交點式y=a（x-x1）（x-x2）求函數解析式時的巧用，解二次函數最大利潤問題時的巧用，既能開拓學生的思維，也能讓學生在解數學題時帶來便利。也同樣可以使許多數學問題得到簡化，在方便教的同時又使學生易學易記。從而，讓學生獲得學習上的成就感，激發學生興趣、提高學生學習積極性，培養學生學習的自信心，進而提高數學成績。

一、“十字交叉相乘法”在多項式乘法中的巧用（僅限于兩項乘兩項）

當進行多項式乘法（兩項相乘）時，可以巧用十字交叉相乘法。使計算快速、簡單、準確。

例：計算（x+5）（x+2）

分析：用十字交叉相乘法表示為

因為十字左邊相乘得x2（即為二次項），十字右邊相乘得10（即為常數項），交叉相乘又相加得7x （即為一次項）。

所以原式= x2+7x+10

練習1：計算（a+3）（a-4）

分析：用十字交叉相乘法表示為

因為十字左邊相乘得a2（即為二次項），十字右邊相乘得-12（即為常數項），交叉相乘又相加得-a（即為一次項）。

所以原式= a2-a-12

二、“十字交叉相乘法”在記憶平方差和完全平方公式中的巧用。

很多學生，特別是成績在中下的平方差公式和完全平方公式記不牢，或記不全或混淆，要進行推導時就可以用十字交叉相乘法進行快速的推導。

例如：記憶平方差公式時（a+b）（a-b）

用十字交叉相乘法表示為

得到a2+ab-ab-b2

整理后得到：（a+b）（a-b）= a2 -b2即為平方差公式

記憶完全平方公式（a+b）2 ????????（a-b）2

整理得 a2+ab+ab+b2 ?????整理得a2-ab-ab+b2

=a2+2ab+b2 ?????????=a2-2ab+b2

這樣學生就輕松的把這三個公式記熟，記牢了。

三、“十字交叉相乘法”在解二元一次方程時的巧用

例如： 解方程 2 x2-x-6=0

分析： 用十字交叉相乘法表示方程左邊為

所以左邊分解因式得：（2x+3）（x-2）=0

解得 ?X1= ???x2=2

練習1：解方程 x2-5x+6=0

分析：用十字交叉相乘法表示方程左邊為

左邊分解因式得：（x-3）（x-2）=0 解得：X1=3 ??x2=2

四、“十字交叉相乘法”在解二次函數最大利潤問題時的巧用。

例題：為了落實國務院副總理李克強同志到恩施考察時的指示精神，最近，州委州政府又出臺了一系列“三農”優惠政策，使農民收入大幅度增加。某農戶生產經銷一種農副產品，已知這種產品的成本價為20元/千克。市場調查發現，該產品每天的銷售量w（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：w=-2x+80.設這種產品每天的銷售利潤為y（元）。（1）求y與x之間的函數關系式。 （2）當銷售價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？ （3）如果物價部門規定這種產品的銷售價不得高于28元/千克，該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為多少元？

解：（1）依據題意有y=w（x﹣20）=（x﹣20）（﹣2x+80）

因為（x-20）（-2x+80） 可以用十字交叉相乘法表示為

所以y=-2x2+120x-1600，自變量x的取值范圍是20≤x≤40。

（2）∵y=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，

∴當x=30時，y有最大值200.

故當銷售價定為30元/千克時，每天可獲最大銷售利潤200元;

（3）當y=150時，可得方程﹣2x2+120x﹣1600=150，

整理得x2﹣60x+875=0

因為方程的左邊x2﹣60x+875用十字交叉相乘法表示為

所以有（x-25）（x-35）=0 解得 ?X1=25 ?x2=35

答：略。

以上是我多年來“十字交叉相乘法”在教學中的巧用，愿與各位朋友共同分享，希望能在教育教學中給得到一定的幫助。筆者認為在不影響計算精度的前提下， 既能開拓學生的思維，又能迅速解決兩數相乘的復雜性問題，還可以提高計算的效率，從而可以很大程度節約計算時間。使學生易學易記，讓學生獲得學習上的成就感，大大激發學生的興趣、提高學生學習積極性，進而提高數學成績。

參考文獻：

[1]多年的教學筆記。

[2]初中七年級到九年級的6冊課本。