批判性思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)展中的應(yīng)用

馮言澤 梁振英 王明碩

摘要：批判性思維是創(chuàng)新思維的重要組成部分。本文首先介紹了批判性思維的定義，然后從一些公共基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程出發(fā)，介紹了批判性思維在數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中的實(shí)例。其次通過例證闡述批判性思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)展中的應(yīng)用，最后給出了學(xué)生如何在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中培養(yǎng)批判性思維的建議。

1.引言

隨著科技發(fā)展和經(jīng)濟(jì)全球化，創(chuàng)新成了永恒的話題。當(dāng)今社會(huì)的快速發(fā)展對(duì)高等教育提出了更高的要求，人們對(duì)培養(yǎng)適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)發(fā)展和具備多種應(yīng)用能力、可以解決多種復(fù)雜的實(shí)際問題的創(chuàng)新型人才越來越重視[1]。《高等數(shù)學(xué)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》等是高等院校理工科的專業(yè)基礎(chǔ)必修課，對(duì)學(xué)生建立隨機(jī)概念，處理數(shù)據(jù)問題，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，有著重要的作用。所謂批判性思維，通俗地講，是帶著挑剔的眼光對(duì)問題進(jìn)行反思或質(zhì)疑。研究表明，批判性思維是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的主要因素之一，對(duì)批判性思維應(yīng)用進(jìn)行研究，意義重大。

2.批判性思維的界定

當(dāng)前，關(guān)于批判性思維的定義有很多，其中概括較為全面的是：批判性思維是對(duì)于某種事物、現(xiàn)實(shí)和主張?zhí)岢鰡栴}，進(jìn)行合理的、反思性的分析，根據(jù)自我選擇和判斷，邏輯地作出主張的思考。[2]而數(shù)學(xué)批判性思維則是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，有目的、有意識(shí)的對(duì)已有的數(shù)學(xué)表述、數(shù)學(xué)思維過程及結(jié)果做出自我調(diào)節(jié)性分析、判斷、解釋、推理和調(diào)整的個(gè)性品質(zhì)[3]其包括對(duì)自己和別人的思維進(jìn)行反思總結(jié)、提出質(zhì)疑、弄懂情況、獨(dú)立分析的過程。對(duì)于數(shù)學(xué)問題，我們時(shí)常不滿足于繁瑣的正確解答，而欣賞簡(jiǎn)單、對(duì)稱性等優(yōu)美的結(jié)果。追求一題多解和嚴(yán)格的知識(shí)體系是批判性思維的重要標(biāo)志，這推動(dòng)著數(shù)學(xué)邏輯的不斷完善。

3.數(shù)學(xué)問題中的一題多解

數(shù)學(xué)問題中有大量題目一題多解。本節(jié)以概率論中隨機(jī)事件的表達(dá)和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算以及高等數(shù)學(xué)中極限問題的求解方法簡(jiǎn)述批判性思維在數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用。

顯然，第一、二種表達(dá)較簡(jiǎn)單，滿足德·摩根律。第三種太繁瑣。但三種方法可以幫助學(xué)生全面了解事件的意義。

（2）將一枚硬幣（有正反兩面）連續(xù)拋擲n次，X、Y分別表示正面出現(xiàn)的次數(shù)和反面出現(xiàn)的次數(shù)，求X、Y的相關(guān)系數(shù)。對(duì)于此問題，大部分同學(xué)會(huì)想到相關(guān)系數(shù)的下列求解公式

運(yùn)用公式（1）求解時(shí)，比較麻煩，甚至無從下手。所以有同學(xué)試圖尋找一種更簡(jiǎn)單的方法。分析題意可得X+Y=n，所以Y=–X+n。利用相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可以直接推出X與Y的相關(guān)系數(shù)為–1，從而既快又好的得出結(jié)果。

（3）在高等數(shù)學(xué)中求解極限問題，可以利用重要極限、等價(jià)無窮小代換、洛必達(dá)法則、泰勒展開等方法進(jìn)行運(yùn)算。例如解時(shí)，若用重要極限進(jìn)行求解，首先要湊出重要極限的形式，然后再求解，過程比較繁瑣，于是我們嘗試一種新的方法，先將其化成指數(shù)形式，然后對(duì)于指數(shù)部分用等價(jià)無窮小代換或應(yīng)用洛必達(dá)法則即可以快速求解。

當(dāng)我們帶著批判性的眼光去看待數(shù)學(xué)中問題的時(shí)候，很多數(shù)學(xué)問題會(huì)發(fā)現(xiàn)新的思路。這就是批判性思維的體現(xiàn)。加強(qiáng)數(shù)學(xué)題目的一題多解的嘗試，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

4.完善統(tǒng)計(jì)知識(shí)體系

批判性思維在統(tǒng)計(jì)知識(shí)體系的完善和發(fā)展中起到很重要的作用。《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中，總體未知參數(shù)矩估計(jì)是最好的例證。未知參數(shù)矩估計(jì)是根據(jù)大數(shù)定律原理中，“樣本K階原點(diǎn)矩依概率收斂到總體K階原點(diǎn)矩”來解決。上世紀(jì)90年代的工科統(tǒng)計(jì)教材中，矩估計(jì)求解思路是：令“樣本K階原點(diǎn)矩等于總體K階原點(diǎn)矩”，從中解出未知參數(shù)。采用此方法求解未知參數(shù)的矩估計(jì)，令人感覺太過生硬，有強(qiáng)迫之意。所以現(xiàn)在的課本采用近似代替的方法，通過委婉的處理，使讀者易于接受。因此，批判性思維還可以推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的不斷完善。

5.批判性思維的培養(yǎng)

隨著素質(zhì)教育的不斷發(fā)展與教育創(chuàng)新的不斷進(jìn)行，人們對(duì)批判性思維越來越重視，所以如何培養(yǎng)批判性思維就顯得格外重要。美國耶魯大學(xué)前校長(zhǎng)理查德·萊文曾尖銳地指出：中國本科教育缺乏批判性思維的培養(yǎng)。這值得我們深思和反省。批判性思維需要師生雙方相互配合，構(gòu)建一種公平的、平等的、相互促進(jìn)的新型師生關(guān)系[1]，對(duì)此提出如下建議：

（1）對(duì)于大學(xué)生來說，要有意識(shí)地提高創(chuàng)新意識(shí)和批判性思維能力[2]，長(zhǎng)期以來，如何分析、解決、應(yīng)用數(shù)學(xué)問題一直被看成是學(xué)好數(shù)學(xué)課程的關(guān)鍵，學(xué)生總是圍繞課本上的知識(shí)學(xué)習(xí)，而不去聯(lián)想實(shí)際生活中的應(yīng)用，導(dǎo)致其思維不夠靈活，同時(shí)也對(duì)知識(shí)喪失了興趣，因此對(duì)于大學(xué)生來說，要深入理解新知識(shí)的本質(zhì)，知其然，知其所以然。對(duì)于數(shù)學(xué)問題，既要學(xué)會(huì)舉一反三，又要聯(lián)想實(shí)際應(yīng)用，有意識(shí)地培養(yǎng)批判性思維。

（2）對(duì)于老師來說，老師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難。質(zhì)疑是一種以解決特定疑問的形式推動(dòng)人們追求知識(shí)的心理活動(dòng)。質(zhì)疑是思維之源，是學(xué)習(xí)的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力，它能使學(xué)生的求知欲由潛伏狀態(tài)變?yōu)榛钴S狀態(tài)。沒有合理的懷疑，就沒有思維的批判，因此，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難，是培養(yǎng)學(xué)生批判性思維的重要內(nèi)容[2][4]。上課前讓同學(xué)們爬黑板做題，不失為一種培養(yǎng)批判性思維的好辦法。學(xué)生在黑板前做完題以后，老師對(duì)學(xué)生做錯(cuò)的題目進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和延伸，能夠拓寬學(xué)生的思維。

總之，批判性思維是對(duì)遇到的問題站在辯證的立場(chǎng)上對(duì)其進(jìn)行反思的習(xí)慣。我們?cè)跀?shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，要善于用批判性思維來看待每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，培養(yǎng)獨(dú)立意識(shí)與創(chuàng)新精神。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙杰梅.基于批判性思維的高校數(shù)學(xué)教學(xué)研究，武漢輕工大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，35（3）：107-110.

[2]楊麗.淺談在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中批判性思維的培養(yǎng)，高等教育，2016，74-76.

[3]文衛(wèi)星“三度”視角下的引言課中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬）2018年第1-2期.

[4]載肖敬若.普通教育改革[M].北京：人民教育出版社，1987：78.

（1.山東理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院;2.山東理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 淄博 250449）